급수의 수렴 여부를 판정하는 방법의 하나로써 적분법을 이용하는 것이다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 영상
연속함수 f: [1, \infty) \to \mathbb{R}가 감소함수이고 항상 f(x)>0일 때, 급수 \sum f(n)이 수렴할 필요충분조건은 적분 \int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx } := \lim _{ b \to \infty }{ \int _{ 1 }^{ b }{ f(x)dx } }가 수렴하는 것이다.
부등식
f(n+1)\le \int _{ n }^{ n+1 }{ f(x)dx }\le f(n)에서
n=1부터 더하면
f(2)+...+f(n+1)\le \int _{ 1 }^{ n+1 }{ f(x)dx }\le f(1)+...+f(n)
을 얻는다. 따라서
\sum _{ n\ge 2 }{ f(n) }\le \int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx }\le \sum _{ n\ge 1 }{ f(n) }\le f(1)+\int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx }
이고,
비교판정법에 의해 명제가 성립한다. ■
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