Euler's summation formula
해석적 수론에서 오차항을 구하는 데 쓰이는 공식으로,
아벨의 합 공식의 특수한 경우이다.
목차
1. 진술
2. 증명
2.1. 스틸체스 적분을 이용한 증명
3. 참고 문헌
4. 영상
f가
[y,x]에서 연속한 도함수를 가지면, 다음이 성립한다.
\sum_{y<n \leq x}f(n) = \int_{y}^{x} f(t)\ dt + \int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y)
우선 각
n에 대해 다음이 성립한다.
\displaystyle \int_{n-1}^{n} [t]f’(t)\ dt = \int_{n-1}^{n} (n-1)f’(t)\ dt = (n-1)(f(n)-f(n-1))
따라서 임의의
y<x에 대해
\displaystyle \int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (n-1)(f(n)-f(n-1)) \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (nf(n)-(n-1)f(n-1)) - \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} f(n) \\ \displaystyle = [x]f([x])-[y]f([y]) - \sum_{y < n \leq x} f(n)
이다. 그러므로
\displaystyle \sum_{y < n \leq x} f(n) = -\int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt +[x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -(\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt - [x](f(x)-f([x])) + [y](f(y)-f([y])))+ [x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt +[x]f(x)-[y]f(y)
그런데 여기서
\displaystyle \int f(t)\ dt = tf(t) - \int t\ df(t) = \int tf’(t)\ dt\\ \displaystyle \implies \int_{y}^{x} f(t)\ dt = xf(x)-yf(y) - \int_{y}^{x} tf’(t)\ dt
이므로 따라서
\displaystyle \therefore \sum_{y<n \leq x} f(n) = \int_{y}^{x} f(t)\ dt + \int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y)
2.1. 스틸체스 적분을 이용한 증명 ✎
우선 다음 공식이 성립함에 유의하자.
\int_y^x f(t)d\alpha(t) = \left. f(t)\alpha(t)\right|_y^x -\int_y^x f'(t)\alpha(t)dt
여기서
\alpha(t)=\lfloor t\rfloor으로 두면 좌변은
\int_y^x f(t)d\alpha(t) =\sum_{y<t\le x} f(t)
와 같아지고 따라서 다음을 얻는다.
\sum_{y<t\le x} f(t) = \left. f(t)\lfloor t\rfloor\right|_y^x -\int_y^x f'(t)\lfloor t\rfloor dt \qquad \cdots\cdots\cdots \qquad (1)
그리고 부분적분을 이용하면 다음 공식을 얻을 수 있다.
0=\int_y^xf(t)dt -\left. tf(t)\right|_y^x \int_y^x f'(t) t dt \qquad \cdots\cdots\cdots \qquad (2)
(1)의 양변에 (2)를 더하면 원하는 결과를 얻는다.
3. 참고 문헌 ✎
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.
