의 유일성에 대한 정리이다.
\\phi=\\log f로 두자. 그러면
x\\in(0,\\infty)에 대해
\\phi(x+1)=\\phi(x)+\\log x\\quad \\cdots\\cdots \\quad (1)
이고
\\phi(1)=0이며
\\phi는 볼록이다. 이제
0<x<1이라 하고
n을 양의 정수라 하자. 여기서
\\phi(n+1)=\\log(n!) 임을 귀납법을 이용해서 쉽게 증명할 수 있다. 특히, 위의 식을 이용하면 다음을 얻어낼 수 있다.
\\phi(n+1+x) = \\phi(x)+\\log\\left[x(x+1)\\cdots(x+n)\\right]\\quad \\cdots\\cdots \\quad (2)
만약
g가 볼록함수이면, 기울기 비교를 통해서
a<b<c<d인 실수
a,b,c,d 에 대해
\\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\\le \\frac{g(c)-g(b)}{c-b}\\le \\frac{g(d)-g(b)}{d-b}\\quad \\cdots\\cdots \\quad (3)
가 성립한다. 여기서
g=\\phi,
a=n,
b=n+1,
c=n+1+x d=n+2로 두면
\\log n\\le \\frac{\\phi(n+1+x)-\\phi(n+1)}{x}\\le\\log(n+1)\\quad \\cdots\\cdots \\quad (4)
이다. 이제 (4)에 (2)를 대입하면
\\log n\\le \\frac{\\phi(x) + \\log[x(x+1)\\cdots(x+n)] -\\phi(n+1)}{x}\\le\\log(n+1)\\quad \\cdots\\cdots \\quad (5)
(5)의 양변에
\\log n을 빼내고 양변에
x를 곱하면
0\\le \\phi(x) + \\log[x(x+1)\\cdots(x+n)n^{-x}] -\\phi(n+1)\\le x\\log\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)\\quad \\cdots\\cdots \\quad (6)
\\phi(n+1)=\\log(n!)라는 사실을 이용해서 (6)을 정리하면
0\\le \\phi(x) - \\log\\left[\\frac{n^x n!}{x(x+1)\\cdots(x+n)}\\right]\\le x\\log\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)\\quad \\cdots\\cdots \\quad (7)
이제 양변에
n을 무한대로 보내는 극한을 취하면, 다음을 알 수 있다:
\\log f(x) = \\lim_{n\\to\\infty}\\log\\left[\\frac{n^x n!}{x(x+1)\\cdots(x+n)}\\right]
따라서
0<x<1일 때
f는 유일하게 결정된다. 그리고
f(x+1)=xf(x)란 성질을 이용하면
f는 양의 실수 전체에서 유일하게 결정됨을 보일 수 있다.
