圓周率
원의 둘레를 지름으로 나눈 값으로 정의되며, 수학에서 중요한 상수 중 하나이다.
\pi로 나타낸다. 기호가 같아서 혼동하기 쉽지만,
소수 계량 함수와는 기호만 공유할 뿐 상관이 없다.
목차
1. 성질
1.1. 무리수성
2. 영상
원주율은 단순히 끝이 없는 소수가 아니라, 분수로 나타낼 수 없는
무리수이자 다항 방정식의 해가 될 수 없는 초월수이다.
\pi \in \mathbb{R}임은 정의에 의해 성립한다.
\pi \in \mathbb{Q}를 가정하면
a,b \in \mathbb{N}이 존재하여
\pi=\frac{a}{b}가 된다.
f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x):=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}
그러면
c_i \in \mathbb{Z}들이 존재하여
f(x)=\frac{1}{n!}\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i가 성립하고,
0<x<1일 때
0<f(x)<\frac{1}{n!}가 된다.
또한 다음 식을 보면 임의의 음이 아닌 정수
k에 대하여
f^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}임을 알 수 있다.
f^{(k)}(x)=\begin{cases}0 & \text{if}\ x= k \in [0,n) \cup (2n,+\infty)\\\frac{k!}{n!}c_k & \text{if}\ x= k \in [n,2n]\end{cases}
f^{(k)}(1-x)=(-1)^k f^{(k)}(x)임을 이용하면 임의의 음이 아닌 정수
k에 대하여
f^{(k)}(1)=(-1)^k f^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}임도 알 수 있다.
이제
F(x)를 다음과 같이 정의하자.
F(x):= b^n \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)
F(x)를
x에 대해 두 번 미분한 결과는
F(x)와
f(x)에 대해 표현할 수 있다.
\begin{aligned}F''(x) &= b^n \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\&= b^n \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\&= b^n \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\pi^{2(n-k+1)}f^{(2k)}(x)\\&=-\pi^2 F(x)+b^n \pi^{2n+2} f(x)\end{aligned}
이제
F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi x를
x에 대해 미분하고 정리하면 아래 결과를 얻는다.
\begin{aligned}\frac{d}{dx}(F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi x) &= F''(x)\sin\pi x+\pi F'(x)\cos\pi x-\pi F'(x)\cos\pi x+\pi^2 F(x)\sin\pi x\\&=(F''(x)+\pi^2 F(x))\sin\pi x \\&=b^n \pi^{2n+2} f(x)\sin\pi x \\&=a^n\pi^2 f(x)\sin\pi\end{aligned}
N을 위 식의 양 변을 0부터 1까지 적분한 값으로 정의하면
N이 정수라는 것을 알 수 있다.
\begin{aligned}N &:=\int_{0}^{1}a^n\pi f(x)\sin\pi x dx\\&=\left[\frac{1}{\pi}F'(x)\sin\pi x-F(x)\cos\pi x\right]_0^1\\&=(\frac{1}{\pi}F'(1)\sin\pi -F(1)\cos\pi)-(\frac{1}{\pi}F'(0)\sin 0-F(0)\cos 0)\\&=F(0)+F(1) \in \mathbb{Z}\end{aligned}
\forall x \in [0,1]\ a^n\pi f(x)\sin\pi x \geq 0이므로
N>0이다. 이제
N의 범위를 생각해 보면 충분히 큰
n에 대해 아래 부등식이 성립함을 알 수 있다.
0<N=\int_{0}^{1}a^n\pi f(x)\sin\pi x dx<\int_{0}^{1}a^n\pi \frac{1}{n!} \sin\pi x dx=\frac{a^n\pi}{n!}<1
이는 모순이다. 따라서
\pi는 무리수이다.
