Axiom of choice, AC
임의의 집합족
\\{S_i\\}_{i\\in I}의 각 집합에서 원소
x_i를 하나씩 뽑아서 집합
\\{x_i:i\\in I\\}을 새로 구성할 수 있다는 내용의 공리이다.
목차1. 정의2. 선택공리와 동치인 명제들3. 선택공리보다 약한 명제들4. 선택공리의 부정5. 독립성6. 선택공리와 구성주의7. 영상 일반적으로 다음과 같은 정의들 중 하나가 채택되고, 이들은 동치이다.
- \\{S_i\\}_{i\\in I}가 집합족이라 하자. 이 때 집합 A가 존재해 각 i에 대해 A\\cap S_i는 단원집합이다.
- 집합 A가 주어졌을 때, 함수 r: \\mathcal{P}(A)-\\{\\varnothing\\}\\to A가 존재해 r(x)\\in x를 만족한다.
특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수
r을 선택함수라 부르기도 한다.
2. 선택공리와 동치인 명제들 ✎ ⊖
체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 다음 명제들은 선택공리와 동치이다:
3. 선택공리보다 약한 명제들 ✎ ⊖
다음 명제들은 ZF만으로는 증명 불가능하지만, 선택공리와 동치는 아니다.
4. 선택공리의 부정 ✎ ⊖
다음 명제들은 선택공리의 부정을 이끌어낸다:
- 결정공리
- 모든 실수의 부분집합은 베르 성질을 갖는다.
- 모든 실수의 부분집합은 르벡 가측이다.
- 모든 실수의 부분집합은 완전집합 성질을 가진다.
- 무한 데데킨트 유한집합의 존재성.
ZF가 일관되어 있음을 가정하면, 선택공리가 다른 ZF의 공리들로부터 독립임을 보일 수 있다. 괴델은 ZF가 일관되었다면, ZF는 ZFC의 내부 모형인
구성가능한 우주 L이 존재함을 보였다. 폴 코헨은 강제법을 이용해서 ZF￢C의 모형을 구성하였다. 이 두 결과로부터 선택공리가 다른 ZF 공리들과 독립임을 확인할 수 있다.
6. 선택공리와 구성주의 ✎ ⊖
선택공리는 선택함수의 존재성만을 보장해주는 공리일 뿐, 선택함수를 어떻게 구성하는지 알려주는 공리는 아니다. 따라서, 선택공리에 의해 존재성이 보장되는 대상은 대부분 그 형태를 직접 '볼 수' 없는 경우가 대부분이다.
흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.
