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Axiom of choice, AC

임의의 집합족 {S_i}_{iin I}의 각 집합에서 원소 x_i를 하나씩 뽑아서 집합 {x_i:iin I}을 새로 구성할 수 있다는 내용의 공리이다.

목차

1. 정의
2. 선택공리와 동치인 명제들
3. 선택공리보다 약한 명제들
4. 선택공리의 부정
5. 독립성
6. 선택공리와 구성주의
7. 영상

1. 정의

일반적으로 다음과 같은 정의들 중 하나가 채택되고, 이들은 동치이다.

{S_i}_{iin I}가 집합족이라 하자. 이 때 집합 A가 존재해 각 i에 대해 Acap S_i는 단원집합이다.
집합 A가 주어졌을 때, 함수 r: mathcal{P}(A)-{varnothing}to A가 존재해 r(x)in x를 만족한다.

특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수 r을 선택함수라 부르기도 한다.

2. 선택공리와 동치인 명제들

체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 다음 명제들은 선택공리와 동치이다:

공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다.
하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximality principle)
쾨니히의 정리 (König's theorem)
초른의 보조정리 (Zorn's lemma)
티호노프의 정리 (Tychonoff's theorem) : 임의의 컴팩트 공간의 곱 또한 컴팩트하다.
임의의 벡터 공간은 기저를 갖는다.
임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다.
정렬가능성 정리 (Well-ordering Theorem) : 임의의 집합은 잘 정렬된(Well-ordered) 집합이 될 수 있다.
임의의 자유 아벨군의 모든 기저의 차수는 같다.
임의의 집합 A에 대해 |A|=|A|^2이다.

3. 선택공리보다 약한 명제들

다음 명제들은 ZF만으로는 증명 불가능하지만, 선택공리와 동치는 아니다.

불 소 아이디얼 정리
Ultrafilter의 존재성
가산 선택공리와 종속 선택공리
비가측 집합의 존재성
임의의 체는 대수적 폐포를 갖는다.
임의의 티호노프 공간은 Stone–Čech Compactification을 갖는다.
비가산 이론의 괴델의 완전성 정리

4. 선택공리의 부정

다음 명제들은 선택공리의 부정을 이끌어낸다:

결정공리
모든 실수의 부분집합은 베르 성질을 갖는다.
모든 실수의 부분집합은 르벡 가측이다.
모든 실수의 부분집합은 완전집합 성질을 가진다.
무한 데데킨트 유한집합의 존재성.

5. 독립성

ZF가 일관되어 있음을 가정하면, 선택공리가 다른 ZF의 공리들로부터 독립임을 보일 수 있다. 괴델은 ZF가 일관되었다면, ZF는 ZFC의 내부 모형인 구성가능한 우주 L이 존재함을 보였다. 폴 코헨은 강제법을 이용해서 ZF￢C의 모형을 구성하였다. 이 두 결과로부터 선택공리가 다른 ZF 공리들과 독립임을 확인할 수 있다.

6. 선택공리와 구성주의

선택공리는 선택함수의 존재성만을 보장해주는 공리일 뿐, 선택함수를 어떻게 구성하는지 알려주는 공리는 아니다. 따라서, 선택공리에 의해 존재성이 보장되는 대상은 대부분 그 형태를 직접 '볼 수' 없는 경우가 대부분이다.

흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.

7. 영상

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