기저를 갖는다고 한다.
F 위의 모든 선형 독립인 집합들의 집합을 S라 하자. 이 때 S는 포함관계 ⊂에 의해 반순서집합이 된다. 이제 \{T_\alpha\}_{\alpha\in I}를 S 위의 사슬 (i.e. \{T_\alpha\}_{\alpha\in I}는 포함관계에 의해 전순서집합이 된다.) 이라 하자. 이제
T=\bigcup_{\alpha\in I} T_\alpha
으로 둔다. 만약 v_1,v_2,\cdots,v_n \in T_\alpha이면 각 i=1,2,\cdots,n에 대해 어떤 Tαi가 존재해 v_i\in T_{\alpha_i}이다. 이 때 T_\alpha들의 집합은 포함관계에 의해 정렬되므로, T_{\alpha_1},\cdots,T_{\alpha_n} 중에서 포함관계에 의해 최대가 되는 집합이 있다. 이를 T_{\alpha_k}라 하면 v_1,v_2,\cdots,v_n\in T_{\alpha_k}이고 T_{\alpha_k}는 선형 독립이므로
c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=0 \qquad \Longrightarrow \qquad c_1=c_2=\cdots=c_n=0
이다. 따라서 T도 선형 독립이고, 특히 T는 \{T_\alpha\}_{\alpha\in I}의 극대원이 된다.
따라서 초른의 보조정리에 의해 모든 선형 독립인 집합 중 (포함관계에 의해) 최대인 집합 S가 존재한다. 이제 S가 기저임을 보이자. 만약 S가 기저가 아니면, S에 의해 생성되지 않는 V의 원소 v가 존재한다. 이 때S\cup\{v\} 또한 선형 독립인 집합이 된다. 그런데 S가 최대란 가정에 의해 S\cup\{v\}\subset S이고, 따라서 S\cup\{v\}=S이다. 즉 v는 S의 원소이다. 하지만 이는 v가 S에 의해 생성되지 않는다는 데에 모순이다. 따라서 S는 기저이다.
