複素平面, Complex number plane
복소수를 기하학적으로 해석할 수 있도록 고안된 좌표평면을 말한다. 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 두 복소수는 복소평면 상에서 기하학적으로 벡터처럼 더해진다.
복소수
\mathrm{z}=a+bi\ (a, b\in \mathbb{R})에 대해 복소평면에서
a를 나타내는 축을
\mathrm{Re}(실수부),
b를 나타내는 축을
\mathrm{Im}(허수부)라고 하며 이 수는
\mathrm{z}(a, b)로 표현된다. 따라서 이 수의 켤레복소수는 자명하게
\overline{\mathrm{z}}(a, -b)가 된다.
a, b는 실수이므로 모든 복소수는 복소평면의 점들과 대응한다.
복소수
z=a+bi를 복소평면에 나타냈을 때, 원점에서의 거리
r = \sqrt{a^2+b^2}를 그 복소수의 절댓값 또는 모듈러스(Modulus)라고 하며
|z|로 쓴다. 복소평면에 대응된 이 복소수를 극좌표를 이용하면
z(|z|\cos\varphi, |z|\sin\varphi)
로 쓸 수 있으므로
z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)
이다. 이를 복소수의 극형식(Polar Form)이라고 한다. 오일러의 공식을 이용하면 이는
가 된다. 여기서
\mathrm{Re}축과 원점에서 복소수를 긋는 직선 사이의 각인
\varphi(=\arctan \frac{b}{a})를
z의 편각이라고 하며
\arg{(z)}로 쓴다. 특별히
(-\pi, \pi]의 편각은 주편각이라고 하며
\mathrm{Arg}(z)로 쓴다.
\displaystyle |z|^2 = z \cdot \overline{z}a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)\displaystyle \arg(z_1\cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\displaystyle z_1 \cdot z_2 = |z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\\displaystyle = |z_1||z_2|((\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 + \cos\varphi_1 \sin\varphi_2))\\\displaystyle =|z_1||z_2|(\cos(\varphi_1 + \varphi_2)+i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))\displaystyle \arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{|z_2|}\\\displaystyle =\frac{|z_1|}{|z_2|}((\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \sin \varphi_2)+i(\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 - \cos \varphi_1 \sin \varphi_2))\\\displaystyle =\frac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2)+i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))\displaystyle z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) (드 무아브르의 공식)z^n=k의 해는 복소평면에서 정 n각형을 이룬다.\displaystyle |z_1+z_2+\cdots+z_n|≤|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n| (삼각형 부등식)
