수학에서 코시의 적분 공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.
목차 1. 진술2. 증명3. 증명4. 예시5. 영상6. 참고문헌7. 보기\Gamma를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. f가 \Gamma를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 z_0이 \Gamma 내부의 임의의 점이라면,f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dzf의 n계도함수는f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
\dfrac{f(z)}{z-z_0}는
z_0을 제외한
D 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서
\Gamma는 양의 방향을 가지는 원
C_r : |z-z_0|=r로 연속적 변형이 가능하다. 따라서
\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz
이다. 이때
\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz
이고,
\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i이므로,
\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz
이다.
M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\}이라 하자. 그러면
\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r}
이므로
\left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r
이다.
f는 )]z_0)]에서 연속이므로,
r\to 0일 때
M_r \to 0이다. 따라서
\lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0
이고, 원하는 결론을 얻는다.
C를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 |z|=2라고 할 때, \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz의 값을 구하자.f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4}로 정의하면, \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz이고 f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2}이다.\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2}를 얻는다.
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Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0 에 따라 이용할 수 있습니다. 본 문서의 원본은
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