양자역학에서, 무한 퍼텐셜 우물(Infinite Potential Well) 모형은 통과할 수 없는 장벽 내부에서 입자가 어떻게 운동하는지 기술한다.
목차
1. 1차원 계
1.1. 상자 우물
1.2. 환형 우물
2. 3차원 계
2.1. 구면 우물
3. 외부
4. 참고 문헌
5. 영상1. 1차원 계 ✎
상자 모형에서 가장 간단한 형태는 1차원 계이며, 이 계에서 입자는 앞이나 뒤로만 움직인다. 일차원 상자의 내부의 퍼텐셜은 0이지만 외부의 벽의 퍼텐셜은 \infty인데, 이것은 입자가 상자 내부에서 자유롭게 움직일 수 있다는 것을 뜻하지만, 상자 밖으로는 절대 나갈 수 없음을 의미한다. 일차원 상자의 퍼텐셜은
V(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&0\le x \le a\\\infty,& \text{otherwise} \end{array}\right.
으로 나타난다.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi=E\psi
로 주어지는데, 0\le x \le a일 때 V(x)=0이므로
\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi
를 얻고, 이 미분방정식의 해는
\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx
이다. 이때, \displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}이고 A,B\in\mathbb{C}이다. \psi(0)=\psi(a)=0이어야 하므로 B=0이고, \sin(ka)=0, 즉 임의의 자연수 n에 대해 k_n a = n\pi, \displaystyle k_n=\frac{n\pi}{a}이다. 따라서
\psi(x)=A\sin \left(\frac{n\pi}{a}x\right)
를 얻는다. 한편, \psi(x)는 정규화되어야 하므로,
1=\int_0^a |A|^2 \sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)dx=|A|^2\int_0^a \frac{1-\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)}{2}dx=|A|^2\frac{a}{2}
여기서 A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}를 고른다. 또한, E_n=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}를 얻는다. 따라서 \psi_{n}(x), \varphi_{n}(t)은
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)
\varphi_{n}(t)=\exp\left(\frac{-iE_n}{\hbar}t\right)=\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar}{2ma^2}t\right)
이고, 일반화하면
\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \psi_{n}(x)\varphi_{n}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar}{2ma^2}t\right)
c_n=\int_0^a \psi_n^*(x) \Psi(x,0)dx=\int_0^a \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\Psi(x,0)dx
이다.
정상상태에서 \left<x\right>, \left<x^2\right>, \left<p\right>, \left<p^2\right>를 구해보자.
\left<x\right>=\int_0^a \Psi^* x \Psi dx = \int_0^a x|\Psi|^2 dx =\frac{2}{a}\int_0^a x\sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2}
\left<x^2\right>=\int_0^a\Psi^* x^2 \Psi dx=\frac{2}{a}\int_0^a x^2\sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx=a^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right)
\left<p\right>=\int_0^a\Psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi dx=0
\left<p^2\right>=\int_0^a\Psi^* \left(\frac{\hbar^2}{-1}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) \Psi dx=\left(\frac{n\hbar \pi}{a}\right)^2
따라서 위치와 운동량의 불확정성은
\sigma_x=\sqrt{\left<x^2\right>-\left<x\right>^2}=a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}
\sigma_p=\sqrt{\left<p^2\right>-\left<p\right>^2}=\frac{n\hbar \pi}{a}
이므로
\sigma_x\sigma_p=a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}\cdot\frac{n\hbar \pi}{a}=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}\ge\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2}\approx 0.568\hbar
이다. 따라서 불확정성 원리가 반증되지 않음을 안다.
일차원 환형 퍼텐셜
V(r) =\begin{cases}0,& \text{if } r=R,\\\infty, & \text{otherwise.}\end{cases}
에 따라 움직이는 입자를 생각하자. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
-\frac{\hbar^2}{2mR^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}=E\psi
w=\sqrt{\dfrac{2mR^2E}{\hbar^2}}로 두면, 슈뢰딩거 방정식은
\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}=-w^2\psi
이고, 따라서
\psi(\phi)=c_1e^{\pm iw\phi}
로 둘 수 있다. \psi(\phi)는 주기 2\pi인 주기함수이므로, 1=2w\pi i이다. 따라서 w는 정수임을 안다. 따라서 에너지 준위는
E_n=\left(\frac{\hbar^2}{2mR^2}\right)n^2
이다. 한편, \psi를 정규화하면
1=|c_1|^2\int_0^{2\pi} e^{iw\phi}e^{-iw\phi} d\phi = |c_1|^2 2\pi
이므로 c_1=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}로 둘 수 있다. 따라서
\psi(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\pm in\phi}
를 얻는다.
2. 3차원 계 ✎
무한 구면 우물(Infinite Spherical Well)에 대한 퍼텐셜은
V(r)=\left\{\begin{array}{ll}0,&\mathrm{if}\; r\le a \\ \infty,&\mathrm{if}\; r> a \end{array}\right.
로 주어진다. 우물 바깥에서, 파동함수의 값은 0이다. 지름 파동 방정식을 구하면
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=\left(\frac{l(l+1)}{r^2}-k^2\right)u
이때, k=\dfrac{2mE}{\hbar}이다. l=0일 때,
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=-k^2u
이므로 u=A\cos kr + B\sin kr (단, A,B\in\mathbb{C})로 나타낼 수 있다. 이때 u=rR(r)이므로
R(r)=A\frac{\cos kr}{r} + B\frac{\sin kr}{r}
r\to +0일 때, \dfrac{\cos kr}{r}\to \infty이므로 A=0이다. 그리고 R(a)=0이므로 k=\dfrac{n\pi}{a}, 즉
R(r)=B\frac{\sin (n\pi r/a)}{r}
R(r)을 정규화하면, \displaystyle \int_0^r |R|^2 r^2 dr=1에서 B=\sqrt{\dfrac{2}{a}}를 얻고 구면조화함수 Y_0^0(\theta, \phi)=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi}}이므로, \psi_{n00}(r,\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi a}}\dfrac{\sin(n\pi r/a)}{r}이다.
일반적으로 주어진 지름 방정식의 해는
u(r)=Arj_l(kr)+Brn_l(kr)
이다. 이때, j_l(x)는 l차 구면 베셀함수, n_l(x)는 l차 구면 노이만 함수이다. 그런데 n_l(kr)는 r\to +0일 때 |n_l(kr)|\to \infty이므로 B=0이다. 따라서 u(r)=Arj_l(kr), 즉 R(r)=Aj_l(kr)이다.
4. 참고 문헌 ✎
- Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0131911759.
