L'Hôpital's rule, L'Hospital's rule
미적분학에서 함수의 극한을 구할 때 사용되는 정리 중 하나이다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 복소함수에서의 적용
4. 영상
실함수 f,g가 (a,b)\ (-\infty \leq a < b \leq +\infty)에서 미분 가능하고 \forall x \in (a,b)\ g'(x) \neq 0이며 \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A라 하자.
\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0이거나 \lim_{x \to a}g(x)=+\infty이면 \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A이다.
우선 -\infty<A \leq +\infty인 경우를 보자. 그러면 A<r<q인 q,r \in \Bbb{R}을 잡을 수 있다.
\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A이므로 a<x<c이면 \frac{f'(x)}{g'(x)}<r인 c가 존재한다.
이제 a<x<y<c인 x,y를 잡으면 코시의 평균값 정리에 의해 \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(t)}{g'(t)}인 t \in (x,y)가 존재한다. 따라서 \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r이다.
\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0인 경우, \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}에서 x \to a이면 \frac{f(y)}{g(y)} \leq r<q를 얻는다. 즉 x \in (a,c)이면 \frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
\lim_{x \to a}g(x)=+\infty인 경우, 고정된 y에 대하여 a<x<c_1이면 g(x)>g(y),\ g(x)>0이 성립하는 c_1 \in (a,y)를 잡을 수 있다.
\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r에서 \frac{f(x)-f(y)}{g(x)}<r\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}이고 \frac{f(x)}{g(x)}<r-r\frac{g(y)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)}이므로 a에 충분히 가까운 x에 대해 \frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
-\infty \leq A < +\infty인 경우 마찬가지로 A>p인 p를 잡으면 a에 충분히 가까운 x에 대해 \frac{f(x)}{g(x)}>p가 성립한다.
위 두 결과를 종합하면 정리가 유도된다.
3. 복소함수에서의 적용 ✎
사실, 로피탈의 정리는 복소함수에서 성립하지 않는다.
관련 문서
