Mean Value Theorem (MVT)
미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 기하학적으로는 곡선 위의 두 점을 이은 할선의 기울기와 평행한 접선을 갖는 점이 적어도 하나 존재한다는 것을 의미하며, 물리적으로 해석하면 어떤 구간에서의 평균 속도와 같은 순간 속도를 가졌던 순간이 그 구간 내에 반드시 존재한다는 것과 같다. 직관적으로는 너무나 당연해 보이지만, 이를 수학적으로 엄밀하게 증명함으로써 미분과 적분의 관계를 체계화하는 밑거름이 되었다.
이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만 수많은 일반화와 확장 형식들
(1)이 존재한다. 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)이며, 그 외에도 체계화한 인물로 미셸 롤(롤의 정리), 조제프 루이 라그랑주(평균값 정리) 등이 꼽힌다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 일반화
3.1. 진술
3.2. 증명
4. 부정형 \frac{0}{0}에 대한 로피탈의 정리
4.1. 진술
4.2. 증명
5. 영상
함수
f(x) 가 폐구간
[a, b]에서 연속이고 개구간
(a, b)에서 미분 가능하면
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, (a<c<b)
를 만족시키는
c 가 적어도 하나 존재한다.
\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = k \, 라 하면
\overleftrightarrow { AB }: g(x) = k(x-a)+f(a) 이다.
h(x) = f(x) - {k(x-a) + f(a)}라 하면
h(x)는 폐구간
[a, b]에서 연속이고 개구간
(a, b)에서 미분가능하며
h(a) = h(b) = 0 이다.
따라서
롤의 정리에 의하여
h'(c) = 0 인
c 가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.
미분하면
h'(x) = f'(x)-k 가 성립하므로
h'(c) = 0 에서
h'(c) = f'(c)-k = 0
∴f'(c) = k
따라서
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, (a<c<b) 를 만족시키는
c 가 적어도 하나 존재한다.
함수 f(x)와 g(x)가 폐구간 [a, b] 에서 연속이고 개구간 (a, b) 에서 미분가능하면
(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) 인 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
다음과 같은
h(x) 를 정의하자.
h(x) = \{f(b) - f(a)\}g(x) - \{g(b) - g(a)\}f(x)
그러면
h(a) = h(b) 이므로 함수
h(x) 는
롤의 정리의 모든 조건을 만족시킨다.
따라서 롤의 정리에 의하여
h'(c) = 0 이며
(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 인 점
c 가 존재한다.
덧붙여 구간 내의 모든 점에서
g'(x) ≠
0 이고
g(b) - g(a) ≠
0 이면,
\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} \ = \frac{f'(c)}{g'(c)} 인 점
c 가 존재한다.
4. 부정형 \frac{0}{0}에 대한 로피탈의 정리 ✎
함수 f(x)와 g(x)가 x=a 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고
f(x) = g(x) = 0 이며 g'(x) \neq 0 ( x \neq a ) 이고 극한값 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 가 존재하면 \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}이다.
a 에 가까운
x 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 적용하면
a와
x 사이의 어떤
c가 있어 다음이 성립한다.
h'(c) = 0 이며 (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)
f(a) = g(a) = 0 이고
g'(x) \neq 0이므로
g'(x)\neq 0 (
x \neq a) 이므로
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} 를 얻는다.
x →
a 이면
c →
a 이므로
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}이다.
