sandwich theorem
함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다.
함수 f, g, h와 L에 가까운 x에 대하여 \\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L=\\lim\\limits_{x\\to a}g(x)이고 f(x)\\leq h(x)\\leq g(x)이면 \\lim\\limits_{x\\to a}h(x)=L이다.
이 때, 함수 f를 h의 하계, g를 h의 상계라 한다.
\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L이므로 엡실론-델타 논법에 의해,
- \\forall\\varepsilon>0, \\exists \\delta_1>0, \\ \\forall x : 0<|x-a|<\\delta_1 \\implies |f(x)-L|<\\varepsilon
이다. 마찬가지로,
\\lim\\limits_{x\\to a}g(x)=L이므로
- \\forall\\varepsilon>0, \\exists \\delta_2>0, \\ \\forall x : 0<|x-a|<\\delta_1 \\implies |g(x)-L|<\\varepsilon
이다.
\\delta = \\min(\\delta_1, \\delta_2)이라 했을 때
0<|x-a|<\\delta이면
- L-\\varepsilon < f(x) <L+\\varepsilon
이고
- L-\\varepsilon < g(x) <L+\\varepsilon
이여서
- L-\\varepsilon < f(x) \\le h(x) \\le g(x) < L +\\varepsilon
임을 알 수 있다. 따라서
0<|x-a|<\\delta이면
- -\\varepsilon < h(x) - L < \\varepsilon
이다. 따라서 극한의 정의에 의해
\\lim\\limits_{x\\to a}h(x)=L이다.
- \\cos x \\leq \\frac{\\sin x}{x} \\leq 1 이고 \\lim_{x \\to 0} \\cos x = \\lim_{x \\to 0} 1 = 1 이므로 \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 이다.
