sandwich theorem
함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 예시
4. 영상
함수 f, g, h와 L에 가까운 x에 대하여 \lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}g(x)이고 f(x)\leq h(x)\leq g(x)이면 \lim\limits_{x\to a}h(x)=L이다.
이 때, 함수 f를 h의 하계, g를 h의 상계라 한다.
\lim\limits_{x\to a}f(x)=L이므로 엡실론-델타 논법에 의해,
\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon
이다. 마찬가지로,
\lim\limits_{x\to a}g(x)=L이므로
\forall\varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |g(x)-L|<\varepsilon
이다.
\delta = \min(\delta_1, \delta_2)이라 했을 때
0<|x-a|<\delta이면
L-\varepsilon < f(x) <L+\varepsilon
이고
L-\varepsilon < g(x) <L+\varepsilon
이여서
L-\varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < L +\varepsilon
임을 알 수 있다. 따라서
0<|x-a|<\delta이면
-\varepsilon < h(x) - L < \varepsilon
이다. 따라서 극한의 정의에 의해
\lim\limits_{x\to a}h(x)=L이다.
\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 이고 \lim_{x \to 0} \cos x = \lim_{x \to 0} 1 = 1 이므로 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 이다.
