連續函數 / Continuity Function

연속이란 함수의 유용한 성질 중 하나로 해석학, 위상수학에서 여러모로 많이 쓰인다.

목차

1. 정의
2. 이해
3. 같은 정의
4. 예제
4.1. 연속함수
4.2. 불연속함수
5. 일반화
6. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

먼저 f:\\Bbb{R}\\to \\Bbb{R}이라는 함수를 생각하자. 그러면 모든 \\varepsilon>0에 대해서 적당한 \\delta>0이 있어서 a\\in \\Bbb{R}에서 다음 명제가 만족된다고 하자.
  • 모든 |x-a|<\\delta를 만족하는 x에 대해서 |f(x)-f(a)|<\\varepsilon이 만족된다.
그러면 f는 a에서 연속이라고 말한다. A가 \\Bbb{R}의 부분집합일 때 f가 A의 모든 원소에 대해서 연속이면 f를 A에서 연속이라고 말한다.

2. 이해 ✎ ⊖

연속이란 직관적으로 '끊어지지 않았다'를 뜻한다. 끊어지지 않았다면 f의 그래프 중 어떤 점을 잡아서 그 점을 무한히 a에 갖다 대면 그 점은 무한히 (a,f(a))에 가까워질 것이다. 그러니까 x를 a에 무한히 가까지 가져가면 f(x)는 f(a)에 무한히 가까이 간다는 뜻이다. 이 직관은 다음으로 엄밀화할 수 있다.
  • 모든 |x-a|<\\delta를 만족하는 x에 대해서 |f(x)-f(a)|<\\varepsilon이 만족된다.

바로 위의 정의에서 만족되어야 한다고 말한 그 명제다.

여기에서 우리는 궁금증이 하나 생기는데 '모든 \\delta>0에 대해서 적당한 \\varepsilon>0이 있어서' 라고 서술되는 게 아닌 '모든 \\varepsilon>0에 대해서 적당한 \\delta>0가 있어서'라고 서술되어야 하는지에 대한 것이다. 왜 두번째 형태로 서술되어야 하는지는 첫번째 서술이 연속의 정의라고 하고 f(x)=x^2이라는 함수를 예로 들어 알아보자.

f(x)=x^2은 x가 커지면 커질수록 그래프가 가파라지고 결국 거의 y축에 평행하는 정도가 되어버린다. 당연히 f(x)는 실수 전체에서 연속이어야 함을 알 수 있다. 이제 우리는 a를 충분히 크게 잡아보자. 그리고 \\delta>0를 하나 잡고 |x-a|<\\delta라고 해보자. 그러면 우리는 적당한 \\varepsilon>0이 있어서 |x^2-a^2|<\\varepsilon이 되도록 하고 싶은데
  • |x^2-a^2|=|x-a||x+a|

이고 a를 적당히 크게 하면 \\delta에 상관없이 적당한 a가 있어서 |x^2-a^2|은 1보다 커질 수 있게 된다. 좀 더 직관적으로, 그리고 그래프를 보면서 생각해보면 a부분의 그래프는 너무 가파라서 \\delta를 잡아도 적당한 \\varepsilon이 생길 수 없게 된다. 그러므로 f(x)=x^2은 다음 명제가 성립하지 않는다.
  • 모든 \\delta>0에 대해서 적당한 \\varepsilon>0이 있어서 |x-a|<\\delta이면 |f(x)-f(a)|<\\varepsilon이다.

그러니까 f(x)는 연속이 아니라는 결과를 얻게 되고 만다. 결국 위와 같은 서술은 '끊어지지 않는 그래프'라는 직관을 가지고 있는 우리가 원하는 정의가 아니다. 그러므로
  • 모든 \\varepsilon>0에 대해서 적당한 \\delta>0이 있어서\\cdots

와 같이 수정한다면 직관적으로 틀렸다고 한 서술의 직관을 포함하면서 '가파라서'라는 이유를 무시할 수 있게 한다. 얼마나 가파르든 y값을 기준으로 잡아버리니까 상관없는 것이다.

3. 같은 정의 ✎ ⊖

f:\\Bbb{R}\\to \\Bbb{R}이 실수집합의 부분집합 A에서 연속이라는 것은 다음들과 동치다.
  • a\\in A일 때 \\displaystyle \\lim_{x\\to a}f(x)=f(a)가 성립한다.
  • 모든 f(A)의 open set U에 대해서 f^{-1}(U)가 \\Bbb{R}에서 open이다.
  • a\\in A로 수렴하는 A의 수열 \\{x_n\\}에 대해서 \\lim_{n\\to \\infty}f(x_n)=f(a)이다.

4. 예제 ✎ ⊖

4.1. 연속함수 ✎ ⊖

  • 모든 다항함수
  • \\sin x, \\cos x
  • y=a^x\\ (a>0)

4.2. 불연속함수 ✎ ⊖

  • f(x)=\\displaystyle \\frac{g(x)}{h(x)}\\ (g(x)와 h(x)는 연속함수)
  • 이 함수는 h(x)=0을 만족하는 x값에서 불연속이고, 그 외의 구간에서는 연속이다.
  • f(x)=\\begin{cases}x & \\text{if}\\;x\\ne 0 \\\\ 1 & \\text{otherwise}\\end{cases}
  • 이 함수는 x=0에서 불연속이다. 그래도 이것은 x=0일 때를 제외하고는 모두 연속이다.
  • f(x)=\\begin{cases} 1& \\text{if}\\;x\\;\\text{rational (유리수)} \\\\ 0 & \\text{if}\\;x\\;\\text{irrational (무리수)}\\end{cases}
  • 이 함수는 실수 집합 전체에서 정의되면서 실수 집합 전체에서 불연속이다.(1)

5. 일반화 ✎ ⊖

이는 일반적인 위상공간으로 일반화될 수 있다. 이 때 연속성은 다음으로 서술된다.
  • X와 Y가 위상공간이고 f:X\\to Y가 함수라고 하자. 그러면 f가 연속이라는 것은 U가 Y의 개집합일 때 f^{-1}(U)가 X의 open set인 것이다.
위에서 쓴 '\\delta>0에 대해서 적당한 \\varepsilon>0이 있어서\\cdots'
이라는 서술은 개사상이라는 개념으로 일반화되며 다음으로 서술된다.
  • f:X\\to Y가 개사상이라는 것은 U가 X의 개집합일 때 f(U)는 Y의 개집합이란 것이다.

6. 영상 ✎ ⊖



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(1) 참고로 이는 실수 집합의 모든 폐구간에 대해서 리만 적분 가능이 아니기도 한다.