수학에서 하우스도르프 공간(Hausdorff space) 혹은 T
2 공간(T
2 space)은 두 점을 서로소인 근방으로 분리할 수 있는 위상공간을 말한다. 이는 직관적으로 서로 다른 두 점이 '충분히 떨어져' 있어서 각각을 둘러싸는 겹치지 않는 영역을 잡을 수 있다는 의미이다. 수학에서 다루어지는 많은 위상공간은 대개 하우스도로프 공간이다.
목차
1. 정의
2. 성질
3. 예시
3.1. 반례
4. 영상
위상공간 X가 하우스도르프 공간이란 것은 임의의 x,y\in X에 대해 서로소인 개집합 U, V가 있어 x\in U, y\in V인 것이다.
하우스도르프 공간 위에서의 점열의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하며, 하우스도르프 공간의 컴팩트 부분공간은
닫힌 집합이다.
- 임의의 거리공간은 하우스도르프 공간이다. 보다 일반적으로, 임의의 균등공간은 하우스도르프이다.
- T1인 위상군은 하우스도르프 공간이다.
- 전순서집합 위에 순서위상을 준 공간은 하우스도르프 공간이다.
- 이산공간은 하우스도르프 공간이다.
- 비가산 집합 위에 여유한 위상을 준 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.
- 점이 두 개 이상인 자명한 위상이 주어진 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.
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