Zorn's lemma

선택공리와 동치인 집합론의 정리 중 하나이다. 이 정리는 하우스도르프 극대원리를 함의한다. 1935년 막스 초른이 발표하였다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 참고 문헌

1. 진술 ✎ ⊖

모든 사슬이 상계를 갖는 공집합이 아닌 반순서집합은 적어도 하나의 극대원소를 포함한다.

2. 증명 ✎ ⊖

공집합이 아닌 반순서집합 (P, ≤)는 하우스도르프 극대원리에 의해 ⊆에 대한 극대원소인 사슬을 갖는다. 이 사슬을 T라 하고 T의 상계를 a라 하면 적당한 x≥a\\ (x\\in P)가 존재해서 T∪\\{x\\}는 P의 사슬이다. 따라서 이는 T와 같고 x=a이므로 P는 극대원소 a를 갖는다.

마찬가지로, 사슬이 하계를 갖는 공집합이 아닌 반순서집합은 적어도 하나의 극소원소를 포함한다.

3. 참고 문헌 ✎ ⊖

  • Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.

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