Peano's axioms
주세페 페아노가 제안한
자연수 체계에 관한 공리이다. 1889년 그의 저서인 Arithmetices principia, nova methodo exposita에서 제시하였다.
다음 다섯 가지 공리를 만족하는 구조
\\mathbb{N}의 원소를
자연수라고 한다.
- 0\\in\\mathbb{N}
- n\\in\\mathbb{N}\\Rightarrow n'\\in\\mathbb{N}
- \\not\\exists n \\ s.t. \\ n' = 0(1)
- \\forall m, n \\in\\mathbb{N}, \\ m' = n' \\Rightarrow m=n(2)
- \\forall \\mathbb{S}\\subset\\mathbb{N}: \\ (0\\in\\mathbb{S})\\wedge(n\\in\\mathbb{S}\\rightarrow n'\\in\\mathbb{S})\\Rightarrow \\mathbb S = \\mathbb N(3)
여기서
n'은
n 다음 자연수라는 의미를 가지며
n'=n+1라 할 수 있다. 그리고 마지막 공리는 2차 공리이고, 따라서 여러 메타수학적인 이유로 다음과 같은 약화된 1차 공리꼴을 사용하는 경우가 많다:
- 임의의 문장 \\varphi(n)에 대해 \\varphi(0)\\wedge(\\varphi(n)\\rightarrow \\varphi(n'))\\Rightarrow \\mathbb \\forall n\\varphi(n)
자연수 구조에 대해 다음과 같이 덧셈과 곱셈 연산을 정의할 수 있으며,
(\\mathbb{N},+,\\cdot)은
가환 반환(Commutative semiring)을 이룬다. 아래의 법칙들은
수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.
자연수의 덧셈은 임의의
x,\\ y\\in \\mathbb N에 대해
x'+y=(x+y)'으로 정의되며, 다음이 성립한다.
- x+y=y+x (교환법칙)
- x+(y+z)=(x+y)+z (결합법칙)
- x+y=y+z ⇒ x=y (소거법칙)
따라서, 자연수 집합은 덧셈에 대해
가환 반군을 이룬다.
자연수의 덧셈은 임의의
x,\\ y\\in \\mathbb N에 대해
1x = x,\\ x'y=xy+y로 정의되며, 다음이 성립한다.
- xy=yx (교환법칙)
- x(yz) = (xy)z (결합법칙)
- xz=yz ⇒ x=y (소거법칙)
- x(y+z)=xy+xz (분배법칙)
따라서, 자연수 집합은 곱셈에 대해
가환모노이드를 이룬다.
자연수
x,\\ y 와 적당한
z\\in \\mathbb N가 있어 다음과 같이
\\mathbb N의 순서가 정의된다.
따라서, 자연수
a,\\ b,\\ c 에 대해 다음이 성립하므로 자연수 집합은
≤에 대한
전순서이다.
- a≤b ∧ b≤c ⇒ a≤c
- a<b,\\ a=b,\\ a>b 에서 하나가 성립한다.
4. 자연수 체계의 유일성 ✎ ⊖
페아노의 공리를 모두 만족하는 두 구조
\\mathbb{N},\\ \\mathbb{N}' 은 동형이다. 다시 말해, 다음과 같은 전단사
f:\\mathbb{N}\\to\\mathbb {N}'이 존재한다.
f(0)=0',\\ f(n+1)=f(n)+1'
- Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.
