자연수 - 시드위키

自然數 / Natural number

자연수 집합의 원소를 말한다.

1. 정의
2. 집합론에서의 자연수의 표준 구성
3. 설명
4. 영상

1. 정의 ✎

다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계(Peano's axioms)를 만족하는 체계를 자연수 체계라 부른다:

1\in\mathbb{N}
n\in\mathbb{N}\Rightarrow n' = n+1\in\mathbb{N}
\not\exists n \text{ s.t. } n' = 1
\forall m, n \in\mathbb{N}, \ m' = n' \Rightarrow m=n
\forall \mathbb{S}\subset\mathbb{N}: \ (1\in\mathbb{S})\wedge(n\in\mathbb{S}\rightarrow n'\in\mathbb{S})\Rightarrow \mathbb S = \mathbb N

편의에 따라 덧셈의 항등원 0을 자연수에 포함시킬 수 있는데, 그런 경우에는 위와 같이 정의된 자연수를 양의 정수라고 한다. 0이 포함된 자연수는 \mathbb N_0나 \bar{\mathbb N} 등으로 표기한다.

집합을 이용하여 자연수를 다음과 같은 방법으로 정의한다:

무한 공리를 가정할 때 위의 정의는 페아노 공리계를 만족한다.

자연수는 가장 먼저 접하게 되는 기초적인 수로, 다음과 같이 구성되어 있다.

자연수는 소수와 합성수로 나눌 수 있다.

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