폐집합(Closed set), 혹은 닫힌 집합은 직관적으로 그 집합 내의 점으로 '근사'시킬 수 있는 모든 점을 포함하는 집합, 혹은 그 집합의 경계를 포함하고 있는 집합을 가리킨다.
목차
1. 정의
2. 성질
3. 역할
4. 영상
위상수학에서 폐집합은 다음과 같이 정의되며, 이는 모두 동치이다.
A가 폐집합이라는 것은 그 여집합이 개집합인 것이다.A가 폐집합이라는 것은 A가 그 폐포 \bar A와 같은 것이다.A가 폐집합이라는 것은 A가 그 집적점들의 집합을 포함하는 것이다.
위상이 주어진 위상공간
X에 대해 다음이 성립한다.
\emptyset, X는 닫혀있다.U,V가 닫혀있으면 U\cup V는 닫혀있다. 즉, 유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.- 임의의 첨수
\alpha\in I에 대해 U_\alpha가 닫혀있으면 \bigcap_{\alpha\in I} U_\alpha는 닫혀있다.
이 세 성질을 만족하는 집합을 닫힌 집합으로 정의하고, 그 여집합을 열린 집합으로, 열린 집합의 모임을 위상으로 정의할 수도 있지만, 특별한 이점이 없기 때문에 일반적으로는 열린 집합을 이용하여 위상을 정의한다.
폐집합의 개념은 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 해석학에서는 함수의 연속성을 정의하거나 컴팩트 집합을 정의하는 데 사용된다. 기하학에서는 다양한 도형의 성질을 연구하는 데 활용된다. 또한, 함수해석학, 미분기하학 등 고급 수학 분야에서도 기본적인 개념으로 등장한다.
관련 문서
