Cantor-Bendixson theorem
기술집합론에서, 폴란드 공간 위의 폐집합이 완전집합과 기껏가산 집합으로 분리될 수 있다는 내용의 명제이다.
목차
1. 진술
2. 귀결
3. 증명
X가 폴란드 공간이라 했을 때 그 부분집합 P가 완전집합이란 것은 P의 집적점들의 집합이 P 자신과 일치하는 것을 말한다. 만약 F가 X 위의 폐집합이면, 서로소인 완전집합 P와 기껏가산집합 C가 있어 F=P\cup C이다.
특히,
F가
X 위의 비가산 폐집합이면
F는 무조건 완전 부분집합을 갖는다. 그런데 폴란드 공간 위의 완전집합의 농도는
연속체 농도와 같다.[* 보다 정확히는,
X 위의 임의의 완전집합은 칸토어 집합과 동형인 부분집합을 포함한다. 따라서
X 위의 폐집합은 기껏가산이거나 연속체 농도를 가진다.
집합
A와 서수
\alpha가 주어졌을 때, 그
\alpha-도집합
A^{(\alpha)}를 다음과 같이 초한재귀적으로 정의하자:
A^{(0)}=AA^{(\alpha+1)}=(A^{(\alpha)})'\lambda가 극한서수이면 A^{(\lambda)}=\bigcap_{\alpha<\lambda} A^{(\alpha)}
F가 폐집합이면,
F=F^{(0)}\supset F^{(1)}\supset F^{(2)}\supset\cdots이다. 만약
F^{(\theta)}=F^{(\theta+1)}인
\theta<\omega_1가 존재하지 않는다면,
\langle X-F^{(\alpha)}\rangle_{\alpha<\omega_1}는 강증가하는 길이
\omega_1의 개집합열이 된다. 하지만 폴란드 공간 위에서 그러한 개집합열은 존재할 수 없다. 따라서
F^{(\theta)}=F^{(\theta+1)}인
\theta<\omega_1가 존재한다.
이제
F-F^{(\theta)}가 가산집합임을 보이자. 사실, 각
F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)}은 고립점들로만 이루어져 있으므로 기껏가산이고,
가산 선택공리를 가정하면 기껏가산집합의 가산 합은 가산집합이므로 증명이 끝나지만, 여기선 어떠한 형태의 선택공리가 없어도
F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)}가 가산임을 보일 것이다.
\{U_i:i<\omega\}를
X의 가산기저라 하자. 이 때 각
x\in F-F^{(\theta)}에 대해,
\alpha(x)를
x\in F^{(\alpha)}-F^{(\alpha+1)}인 유일한
\alpha로 정의하고
n(x)를
F^{(\alpha(x))}\cap U_n=\{x\}인 최소의
n으로 정의하자. 이 때
x\neq y이고
\alpha(x)=\alpha(y)일 때
x\notin U_{n(y)}=\varnothing이다. 따라서
n(x)\neq n(y)이다. 그러므로 함수
f:F-F^{(\theta)}\to \theta\times\omega를
f(x)=(\alpha(x),n(x))
로 정의하면 이는 단사이다. 따라서
F-F^{(\theta)}는 기껏가산이다.
