Cantor-Bendixson theorem

기술집합론에서, 폴란드 공간 위의 폐집합이 완전집합과 기껏가산 집합으로 분리될 수 있다는 내용의 명제이다.

목차

1. 진술
2. 귀결
3. 증명

1. 진술 ✎ ⊖

X가 폴란드 공간이라 했을 때 그 부분집합 P가 완전집합이란 것은 P의 집적점들의 집합이 P 자신과 일치하는 것을 말한다. 만약 F가 X 위의 폐집합이면, 서로소인 완전집합 P와 기껏가산집합 C가 있어 F=P\\cup C이다.

2. 귀결 ✎ ⊖

특히, F가 X 위의 비가산 폐집합이면 F는 무조건 완전 부분집합을 갖는다. 그런데 폴란드 공간 위의 완전집합의 농도는 연속체 농도와 같다.[* 보다 정확히는, X 위의 임의의 완전집합은 칸토어 집합과 동형인 부분집합을 포함한다. 따라서 X 위의 폐집합은 기껏가산이거나 연속체 농도를 가진다.

3. 증명 ✎ ⊖

집합 A와 서수 \\alpha가 주어졌을 때, 그 \\alpha-도집합 A^{(\\alpha)}를 다음과 같이 초한재귀적으로 정의하자:
  • A^{(0)}=A
  • A^{(\\alpha+1)}=(A^{(\\alpha)})'
  • \\lambda가 극한서수이면 A^{(\\lambda)}=\\bigcap_{\\alpha<\\lambda} A^{(\\alpha)}
F가 폐집합이면, F=F^{(0)}\\supset F^{(1)}\\supset F^{(2)}\\supset\\cdots이다. 만약 F^{(\\theta)}=F^{(\\theta+1)}인 \\theta<\\omega_1가 존재하지 않는다면, \\langle X-F^{(\\alpha)}\\rangle_{\\alpha<\\omega_1}는 강증가하는 길이 \\omega_1의 개집합열이 된다. 하지만 폴란드 공간 위에서 그러한 개집합열은 존재할 수 없다. 따라서 F^{(\\theta)}=F^{(\\theta+1)}인 \\theta<\\omega_1가 존재한다.

이제 F-F^{(\\theta)}가 가산집합임을 보이자. 사실, 각 F^{(\\alpha)}-F^{(\\alpha+1)}은 고립점들로만 이루어져 있으므로 기껏가산이고, 가산 선택공리를 가정하면 기껏가산집합의 가산 합은 가산집합이므로 증명이 끝나지만, 여기선 어떠한 형태의 선택공리가 없어도 F^{(\\alpha)}-F^{(\\alpha+1)}가 가산임을 보일 것이다.

\\{U_i:i<\\omega\\}를 X의 가산기저라 하자. 이 때 각 x\\in F-F^{(\\theta)}에 대해, \\alpha(x)를 x\\in F^{(\\alpha)}-F^{(\\alpha+1)}인 유일한 \\alpha로 정의하고
n(x)를 F^{(\\alpha(x))}\\cap U_n=\\{x\\}인 최소의 n으로 정의하자. 이 때 x\\neq y이고 \\alpha(x)=\\alpha(y)일 때 x\\notin U_{n(y)}=\\varnothing이다. 따라서 n(x)\\neq n(y)이다. 그러므로 함수 f:F-F^{(\\theta)}\\to \\theta\\times\\omega를
f(x)=(\\alpha(x),n(x))
로 정의하면 이는 단사이다. 따라서 F-F^{(\\theta)}는 기껏가산이다.

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