위상수학에서 위상의 기저(Base, Basis)는 그 원소의 합집합으로 모든 열린 집합을 표현할 수 있는 열린 집합의 모임이다.
목차
1. 정의
2. 성질
2.1. 위상?
2.2. 위상의 다른 표현
2.2.1. 증명
3. 영상
위상구조
X에 대해 다음을 만족하는
\mathcal B\subset2^X를 기저라고 한다.
- 임의의
x\in X에 대해 B\in\mathcal B가 존재하여 x\in B이다. 즉, 기저는 전체집합을 덮는다. - 임의의
B_1,B_2\in\mathcal B와 x\in B_1\cap B_2에 대해 B_3\in\mathcal B가 존재하여 x\in B_3\subset B_1\cap B_2이다.
기저
\mathcal B에 대해
\mathcal B에 의해 생성된 위상
\mathcal T(topology
\mathcal T generated by
\mathcal B)는 다음과 같이 정의된다:
U\subset X가 열린 집합, 즉 U\in\mathcal T라는 것은 각 x\in U에 대해 기저의 원소 B\in\mathcal B가 존재하여 x\in B\subset U인 것이다.
자명하게도, 위상
\mathcal T는
X의 기저이며, 이는 자기 자신
\mathcal T을 생성한다.
\mathcal B에 의해 생성된
\mathcal T가 실제로 위상인지에 대한 증명이 필요하다.
\emptyset,X\in\mathcal T\mathcal T의 원소들로 이루어진 집합족 \{U_\alpha\}_{\alpha\in J}에 대해, U=\bigcup_{\alpha\in J}U_\alpha를 생각하자. 임의의 x\in U에 대해 x\in U_\alpha가 존재하고, U_\alpha\in\mathcal T이므로 x\in B\subset U_\alpha인 B\in\mathcal B를 잡을 수 있다. 따라서 x\in B\subset U이므로, U\in\mathcal T이다.U_1,U_2\in\mathcal T에 대해 임의의 x\in U_1\cap U_2를 생각하자. 그러면 x\in U_1,U_2이므로, B_1,B_2\in\mathcal B가 존재하여 x\in B_1\subset U_1, x\in B_2\subset U_2이다. 따라서 x\in B_1\cap B_2\subset U_1\cap U_2이고, B_1\cap B_2\in\mathcal B이므로 U_1\cap U_2\in\mathcal T이다.
2.2. 위상의 다른 표현 ✎
기저
\mathcal B에 의해 생성된
\mathcal T는
\mathcal B의 원소들의 임의의 모임의 합집합과 같다. 즉 다음이 성립한다.
\mathcal T=\left\{\bigcup_{B\in\mathcal C}B:\mathcal C\subset\mathcal B\right\}\quad(=\mathcal D)
\mathcal B\subset\mathcal T이고 \mathcal T는 위상이므로 \mathcal D\subset \mathcal T이다.
또한 임의의 U\in\mathcal T와 x\in U에 대해 B_x\in\mathcal B가 존재하여 x\in B_x\subset U이므로, \bigcup_{x\in U}B_x=U이다. 따라서 \mathcal T\subset\mathcal D이고, 증명이 끝났다.
관련 문서
