Limit of sequence

직관적으로 수열 \\{a_n\\}의 첨자 n이 커짐에 따라 a_n이 한없이 가까워지는 값을 말한다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 연산
2.1.1. 증명
3. 예시
4. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

수열 \\{ a_n \\}의 극한은 다음과 같이 정의한다.
  • \\{a_n\\}이 실수열일때, 어떤 a \\in \\Bbb{R}이 있어 모든 \\epsilon >0에 대해 N \\in \\mathbb{N}이 존재하여 n > \\mathbb{N}인 모든 n \\in \\mathbb{N}에 대하여 |a_n -a|<\\epsilon 이 성립하면 a를 수열 \\{a_n \\}의 극한이라고 한다.
  • \\{a_n\\}이 거리함수 d를 갖는 거리공간 X에서의 수열일 때, 어떤 a \\in X가 있어 모든 \\epsilon >0에 대해 N \\in \\Bbb{N}이 존재하여 n \\geq \\mathbb{N}인 모든 n \\in \\Bbb{N}에 대하여 d(a_n,a)<\\epsilon 이 성립하면 a를 수열 \\{a_n \\}의 극한이라고 한다.
  • \\{a_n\\}이 위상공간 T에서의 수열일 때, 어떤 a \\in T가 있어 a의 임의의 근방 O에 대해 N \\in \\Bbb{N}이 존재하여 n \\geq \\mathbb{N}인 모든 n \\in \\Bbb{N}에 대하여 a_n \\in O가 성립하면 a를 수열 \\{a_n \\}의 극한이라고 한다.

수열 \\{a_n\\}의 극한이 a일 때 \\lim_{n \\to \\infty} a_n=a로 표기한다.

수열의 극한이 존재할 때 이 수열은 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다.

사실 \\Bbb{R}은 거리공간이며 거리공간은 위상공간의 한 부분이므로 실수열의 극한의 정의와 거리공간에서의 실수의 극한의 정의는 위상공간에서의 수열의 극한의 정의의 특수한 경우이다.

2. 성질 ✎ ⊖

2.1. 연산 ✎ ⊖

수렴하는 복소수열 \\{a_n\\} \\to a,\\ \\{b_n\\} \\to b과 상수 c \\in \\Bbb{C}에 대해 다음이 성립한다.
  • \\displaystyle \\{a_n+b_n\\} \\to a+b
  • \\displaystyle \\{ca_n\\} \\to ca,\\ \\{c+a_n\\} \\to c+a
  • \\displaystyle \\{a_nb_n\\} \\to ab
  • \\displaystyle \\{\\frac{1}{a_n}\\} \\to \\frac{1}{a}\\ \\text{if}\\ a_n \\neq 0, a \\neq 0

2.1.1. 증명 ✎ ⊖

  • \\displaystyle \\forall \\epsilon>0\\ \\exists N_1, N_2 \\in \\Bbb{N}\\ \\text{s.t.}\\ |a_n-a|<\\frac{\\epsilon}{2}\\ \\text{if}\\ n \\geq N_1,\\ |b_n-b|<\\frac{\\epsilon}{2}\\ \\text{if}\\ n \\geq N_2\\ \\Rightarrow\\ |(a_n+b_n)-(a-b)| \\leq |a_n-a|+|b_n-b|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N_1+N_2\\\\\\displaystyle \\therefore \\{a_n+b_n\\} \\to a+b
  • \\displaystyle \\text{if}\\ c=0,\\ \\text{trivial}.\\ \\text{if}\\ c \\neq 0,\\ \\forall \\epsilon>0\\ \\exists N \\in \\Bbb{N}\\ \\text{s.t.}\\ |a_n-a|<\\frac{\\epsilon}{|c|}\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\ \\Rightarrow |ca_n-ca|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\\\\\displaystyle \\therefore \\{ca_n\\} \\to ca\\\\ \\forall \\epsilon>0\\ \\exists N \\in \\Bbb{N}\\ \\text{s.t.}\\ |a_n-a|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\ \\Rightarrow |(c+a_n)-(c+a)|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\\\\\displaystyle \\therefore \\{c+a_n\\} \\to c+a
  • \\displaystyle \\forall \\epsilon>0\\ \\exists N_1, N_2 \\in \\Bbb{N}\\ \\text{s.t.}\\ |a_n-a|<\\sqrt{\\epsilon}\\ \\text{if}\\ n \\geq N_1,\\ |b_n-b|<\\sqrt{\\epsilon}\\ \\text{if}\\ n \\geq N_2 \\Rightarrow |(a_n-a)(b_n-b)|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N_1+N_2\\\\\\displaystyle \\therefore \\lim_{n \\to \\infty} a_nb_n=\\lim_{n \\to \\infty} ((a_n-a)(b_n-b)+a(b_n-b)+b(a_n-a)+ab)=ab\\\\\\displaystyle \\therefore \\{a_nb_n\\} \\to ab
  • \\displaystyle \\forall \\epsilon>0\\ \\exists N \\in \\Bbb{N}\\ \\text{s.t.}\\ |a_n-a|<\\frac{1}{2}|a|^2\\epsilon<\\frac{1}{2}|a|^2\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\ \\Rightarrow |a_n|>\\frac{1}{2}|a|\\ \\Rightarrow |\\frac{1}{a_n}-\\frac{1}{a}|=|\\frac{a_n-a}{a_na}|<\\frac{2}{a^2}|a-a_n|<\\epsilon\\ \\text{if}\\ n \\geq N\\\\\\displaystyle \\therefore \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{a_n}=\\frac{1}{a}

3. 예시 ✎ ⊖

  • 실수열 a_n=\\frac{1}{n}의 극한은 0이다.

4. 영상 ✎ ⊖



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