정수(整數, Integer)는 자연수와 그의 덧셈에 대한 역원, 그리고 0으로 이루어진 집합의 원소이다. 정수 전체의 집합은 Z 혹은
\mathbb{Z}로 쓴다. 이는 숫자를 뜻하는 독일어 단어 Zahlen의 앞 글자를 딴 것이다.
목차
1. 대수적 구조
1.1. 덧셈
1.2. 곱셈
1.3. 덧셈과 곱셈
1.4. 결론1. 대수적 구조 ✎
정수의 집합은 덧셈에 대하여
아벨 군을 이룬다.
- 닫힘:
\mathbb{Z}는 덧셈에 대하여 닫혀있다. - 결합법칙:
\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y ,z 에 대해 (x+y)+z=x+(y+z)이다. - 항등원: 0은 덧셈에 대한 항등원이다.
- 역원:
a \in \mathbb{Z}에서 -a는 a의 역원이다. - 교환법칙:
\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y 에 대해 x+y=y+x이다.
정수의 집합은 곱셈에 대하여 가환모노이드를 이룬다.
- 닫힘:
\mathbb{Z}는 덧셈에 대하여 닫혀있다. - 결합법칙:
\mathbb{Z}의 임의의 원소 \mathbb{Z}에 대해 (x\times y)\times z=x\times (y\times z)이다. - 항등원: 1은 곱셈에 대한 항등원이다.
- 교환법칙:
\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y 에 대해 x\times y=y\times x이다.
분배법칙: \mathbb{Z}의 임의의 원소 x, y, z 에 대해 (x+y)\times z = x\times z + y\times z, z\times (x+y) = z\times x + z\times y가 성립한다.
정수 전체의 집합
\mathbb{Z}는 가환환을 이룬다. 또한
\mathbb{Z}의 임의의 원소가 0이 아니라면 그 원소는 단위가 된다. 그러나
체는 아니다.
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