정수(整數, Integer)는 자연수와 그의 덧셈에 대한 역원, 그리고 0으로 이루어진 집합의 원소이다. 정수 전체의 집합은 Z 혹은
\\mathbb{Z}로 쓴다.
1. 대수적 구조 ✎ ⊖
정수의 집합은 덧셈에 대하여
아벨 군을 이룬다.
- 닫힘: \\mathbb{Z}는 덧셈에 대하여 닫혀있다.
- 결합법칙: \\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y ,z 에 대해 (x+y)+z=x+(y+z)이다.
- 항등원: 0은 덧셈에 대한 항등원이다.
- 역원: a \\in \\mathbb{Z}에서 -a는 a의 역원이다.
- 교환법칙: \\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y 에 대해 x+y=y+x이다.
정수의 집합은 곱셈에 대하여 가환모노이드를 이룬다.
- 닫힘: \\mathbb{Z}는 덧셈에 대하여 닫혀있다.
- 결합법칙: \\mathbb{Z}의 임의의 원소 \\mathbb{Z}에 대해 (x\\times y)\\times z=x\\times (y\\times z)이다.
- 항등원: 1은 곱셈에 대한 항등원이다.
- 교환법칙: \\mathbb{Z}의 임의의 원소 x,y 에 대해 x\\times y=y\\times x이다.
분배법칙: \\mathbb{Z}의 임의의 원소 x, y, z 에 대해 (x+y)\\times z = x\\times z + y\\times z, z\\times (x+y) = z\\times x + z\\times y가 성립한다.
정수 전체의 집합
\\mathbb{Z}는 가환환을 이룬다. 또한
\\mathbb{Z}의 임의의 원소가 0이 아니라면 그 원소는 단위가 된다. 그러나
체는 아니다.
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