(t, 1)이라고 하자. 그러면 (0, 0)에서 시작된 원 위의 정점은(t-\sin t, 1-\cos t)
2\pi이다.r인 원의 사이클로이드는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다x=r(t-\sin t)\\y=r(1-\cos t)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}로 미분하면(1-\cos t, \sin t)
\sqrt{(1-\cos t )^2 + (\sin^2 t)} = 2|\sin\frac{t}{2}|
\mathrm{dt}로 적분하면\int _{0} ^{2\pi} 2|\sin\frac{t}{2}|\mathrm{dt} = 8로 원의 지름의 네 배이다.
x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는\int _{0} ^{2\pi} (1-\cos t) \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}} \mathrm{dt} = \int _{0} ^{2\pi} (1-\cos t)^2 \mathrm{dt} = 3\pi로 원의 넓이의 세 배이다.