하우스도르프 극대원리

Hausdorff maximality principle

선택공리와 동치인 정리 중 하나로, 추상대수학과 위상수학에서는 선택공리보다 사용하기 편리한 경우가 많다.⁽¹⁾

1. 진술
2. 증명
2.1. 보조정리 1
2.1.1. 증명
2.2. 보조정리 2
2.3. 증명
3. 참고 문헌

1. 진술 ✎

반순서집합 (P, ≤) 의 전순서부분집합족을 \mathscr{P} 라고 하면, 반순서집합 (\mathscr{P}, ⊆) 은 적어도 하나의 극대원소를 갖는다.

2. 증명 ✎

다음의 두 명제가 성립한다.

2.1. 보조정리 1 ✎

반순서집합 (\mathcal{P}(X), ⊆)\ (X\neq \varnothing) 의 반순서부분집합 \mathcal{A} 에 대해 \displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A,\ \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A 이다.

2.1.1. 증명 ✎

임의의 A\in\mathcal{A} 에 대해 \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A⊇A 이므로 이는 \mathcal{A}의 상계이다. \mathcal{A}의 다른 상계 B가 있다면 마찬가지로 임의의 A\in\mathcal{A}에 대해 B⊇A이어야 하므로 B⊇\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A 이다. 따라서 \displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A 가 성립하고, 같은 방법으로 \displaystyle \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A도 증명된다.

2.2. 보조정리 2 ✎

반순서집합 (A, ≤) 의 임의의 사슬의 최소상계가 A에 속하면 \forall a\in A\ f(a)≥a 인 f:A\to A에 대해 \exists p\in A\ f(p)=p 이다.

2.3. 증명 ✎

반순서집합 (\mathscr{P}, ⊆)가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면 T\in \mathscr{P}에 대해 T'=\{T^*\in \mathscr{P}|T^*⊃T\}\neq \varnothing 가 존재한다. 선택공리에 의해 T'가 정의역인 g(T')\in T'인 함수 g 가 존재하므로 f(T) = g(T') 인 f:\mathscr{P} \to \mathscr{P} 가 존재한다. 보조정리 1 에 의해 (\mathscr{P}, ⊆)가 보조정리 2 의 가정을 만족하지만 T⊂f(T) 이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

3. 참고 문헌 ✎

Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.

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(1) 이 원리는 부분 순서 집합 내에서 전순서 부분 집합들의 모임이 특정한 조건을 만족하면, 그 모임 안에서 더 이상 확장될 수 없는 가장 큰 전순서 부분 집합이 반드시 존재한다는 것을 보장한다. 이는 복잡한 구조를 가진 집합 내에서 선형적인 순서를 갖는 가장 큰 부분을 찾는 데 유용하게 활용된다.