ZF만으로도
\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}임을 보일 수 있다.
선택공리를 가정하면,
\aleph_1\le 2^{\aleph_0}임을 보일 수 있다. 그리고 선택공리를 가정하면
\operatorname{cf}\mathfrak{c} > \omega임을 보일 수 있다. 그러나 그 확실한 크기는 ZFC 내에서는 결정 불가능하다.
ZFC 위의 추가적인 가정이나 공리들은 때때로 연속체의 크기를 결정하기도 한다. 가령, 다음과 같은 예시들이 있다 :
- 연속체 가설은 연속체 농도가
\aleph_1임을 주장한다. - V=L은 일반화된 연속체 가설을 이끌어낸다. 따라서 V=L이면 연속체 농도는
\aleph_1이다. - 마틴의 극대는
\mathfrak{c}=\aleph_2임을 이끌어낸다. 진강제법 공리 또한 \mathfrak{c}=\aleph_2임을 이끌어낸다. - 실수 집합의 모든 부분집합에 대해 정의되는 측도가 존재한다면,
\mathfrak{c}는 최초의 약도달 불가능한 기수보다 크거나 같다.
어떤 가정들은 연속체의 크기를 결정하지 못 하지만, 연속체 농도의 성질을 결정하기도 한다. 가령, 마틴의 공리는 연속체의 기수가 정칙기수임을 증명한다.
이스턴의 정리에 의하면, 비가산
공종도를 갖는 임의의 비가산 기수
\kappa에 대해
\mathfrak{c}=\kappa인 ZFC의 모형이 존재한다.
