Chi-squared distribution
정규분포를 이용한 새로운 확률분포다. 추론 통계학에서 가장 널리 쓰이는 분포 중 하나로, 표본 분산을 통해 모분산을 추론하거나 범주형 데이터의 독립성을 검정할 때 필수요소로 등판한다. 이름인 카이는 그리스 문자 χ에서 따왔다. 간혹 키제곱이라고 부르는 교수님들도 계신다.
확률변수
Z_1,Z_2,\\cdots,Z_n이 독립이고 표준정규분포를 따른다고 하자. 확률변수
Y=Z_1^2+Z_2^2+\\cdots+Z_n^2
를 자유도
n인 카이제곱분포라고 한다. 이때,
Y\\sim \\chi_n^2로 표기한다.
표준정규분포를 따르는 확률변수
Z에 대해
Z^2\\sim \\Gamma\\left(\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)이므로, 표준정규분포를 따르는 독립인 확률변수
Z_1,Z_2,\\cdots,Z_n에 대해
Y=Z_1^2+Z_2^2+\\cdots+Z_n^2라 하면
Y\\sim \\Gamma\\left(\\dfrac{n}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)이다. 따라서
f(x;n)=\\dfrac{1}{2^{n/2}\\Gamma(n/2)}x^{(n/2)-1}e^{-(x/2)} (x>0)
을 얻는다.
