f:A\\to B가 전사함수이면 함수 g:B\\to A가 존재해 f\\circ g=1_B이다. 이 때 1_B:B\\to B는 항등함수이다.

목차

1. 증명
2. 선택공리와의 관계

1. 증명 ✎ ⊖

각 y\\in B에 대해 A_y를
A_y=\\{x \\in A : f(x)=y\\}
로 정의하자. f가 전사이므로 임의의 y에 대해 A_y\\neq\\varnothing이고 y\\neq z이면 A_y\\cap A_z=\\varnothing이다. 따라서 선택공리에 의해 어떤 함수 g:B\\to A가 있어 g(y)\\in A_y이고, 따라서 g는 f\\circ g=1_B를 만족시킨다.

2. 선택공리와의 관계 ✎ ⊖

이 명제는 선택공리와 동치이다. 이는 다음과 같이 보여질 수 있다:

A가 집합이라 하고 S\\subset \\mathcal{P}(A)가 A의 분할이라 하자. (즉, \\bigcup S= A이고 x,y\\in S\\implies x\\cap y=\\varnothing이다.) 이 때 함수 f:A\\to S를 a가 속하는 S 내의 원소로 정의하자. 즉, a\\in f(a)인 f(a)\\in S로 정의하자. S가 분할이기 때문에 각 a에 대해 f(a)의 후보는 유일하게 존재하므로 f는 선택공리 없이 잘 정의된다. 이 때 f의 우역함수 g:S\\to A는 A의 분할에서 각 원소를 선택하는 선택함수가 된다.

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