f:A\to B가 전사함수이면 함수 g:B\to A가 존재해 f\circ g=1_B이다. 이 때 1_B:B\to B는 항등함수이다.y\in B에 대해 A_y를A_y=\{x \in A : f(x)=y\}
f가 전사이므로 임의의 y에 대해 A_y\neq\varnothing이고 y\neq z이면 A_y\cap A_z=\varnothing이다. 따라서 선택공리에 의해 어떤 함수 g:B\to A가 있어 g(y)\in A_y이고, 따라서 g는 f\circ g=1_B를 만족시킨다.A가 집합이라 하고 S\subset \mathcal{P}(A)가 A의 분할이라 하자. (즉, \bigcup S= A이고 x,y\in S\implies x\cap y=\varnothing이다.) 이 때 함수 f:A\to S를 a가 속하는 S 내의 원소로 정의하자. 즉, a\in f(a)인 f(a)\in S로 정의하자. S가 분할이기 때문에 각 a에 대해 f(a)의 후보는 유일하게 존재하므로 f는 선택공리 없이 잘 정의된다. 이 때 f의 우역함수 g:S\to A는 A의 분할에서 각 원소를 선택하는 선택함수가 된다.