전사함수의 우역함수의 존재성 (편집)

(불러오기) (편집 필터 규칙)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
[math(f:A\to B)]가 전사함수이면 함수 [math(g:B\to A)]가 존재해 [math(f\circ g=1_B)]이다. 이 때 [math(1_B:B\to B)]는 항등함수이다.

== 증명 ==
각 [math(y\in B)]에 대해 [math(A_y)]를
><math>A_y=\{x \in A : f(x)=y\}</math>
로 정의하자. [math(f)]가 전사이므로 임의의 [math(y)]에 대해 [math(A_y\neq\varnothing)]이고 [math(y\neq z)]이면 [math(A_y\cap A_z=\varnothing)]이다. 따라서 [[선택공리]]에 의해 어떤 함수 [math(g:B\to A)]가 있어 [math(g(y)\in A_y)]이고, 따라서 [math(g)]는 [math(f\circ g=1_B)]를 만족시킨다.

== 선택공리와의 관계 ==
이 명제는 선택공리와 동치이다. 이는 다음과 같이 보여질 수 있다:

[math(A)]가 집합이라 하고 [math(S\subset \mathcal{P}(A))]가 [math(A)]의 분할이라 하자. (즉, [math(\bigcup S= A)]이고 [math(x,y\in S\implies x\cap y=\varnothing)]이다.) 이 때 함수 [math(f:A\to S)]를 [math(a)]가 속하는 [math(S)] 내의 원소로 정의하자. 즉, [math(a\in f(a))]인 [math(f(a)\in S)]로 정의하자. [math(S)]가 분할이기 때문에 각 [math(a)]에 대해 [math(f(a))]의 후보는 유일하게 존재하므로 [math(f)]는 선택공리 없이 잘 정의된다. 이 때 [math(f)]의 우역함수 [math(g:S\to A)]는 [math(A)]의 분할에서 각 원소를 선택하는 선택함수가 된다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
[math(f:A\to B)]가 전사함수이면 함수 [math(g:B\to A)]가 존재해 [math(f\circ g=1_B)]이다. 이 때 [math(1_B:B\to B)]는 항등함수이다.

== 선택공리와의 관계 ==
이 명제는 선택공리와 동치이다. 이는 다음과 같이 보여질 수 있다:

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.

편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이 CC BY 4.0에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.