Irrational Number
유리수가 아닌 실수를 말한다.
무리수는
유리수가 아닌 실수이다.
유리수는 적당한 정수
a,
b에 대하여
\\frac{a}{b}꼴로 표현되는 수를 말하므로, 실수
x가 무리수라는 것은 임의의 정수
a,
b에 대하여
x \\not = \\frac{a}{b}이라는 것을 말한다.
일반적으로 실수의 집합은
\\mathbb{R},
유리수의 집합은
\\mathbb{Q}, 무리수의 집합은
\\mathbb{I}로 쓴다. 그러면 다음이 성립한다.
\\mathbb{I}=\\mathbb{R}-\\mathbb{Q}무리수에는 대수적 수와 초월수가 있다. 대수적 수는 정수 계수 다항식의 근이 될 수 있는 수를 말하며, 초월수는 그렇지 않은 수를 말한다. 무리수와 유리수의 합은 무리수이고, 무리수와 0이 아닌 유리수의 곱은 무리수이다.
무리수 집합은 실수집합과 같은 농도를 갖는다. 또한 알레프-0의 농도를 갖는 유리수 집합보다 더 큰 농도를 갖는다.
어떤 수가 무리수임은 일반적으로 귀류법을 사용하여 증명한다.
3.1. \\sqrt{2}의 무리수성 증명 ✎ ⊖
\\sqrt{2}(1)가 유리수라면 서로소인 적당한 정수
a,
b에 대해
\\sqrt{2}=\\frac{a}{b}가 성립한다.
이제
b를 이항하고 제곱하면
2 b ^ 2 = a ^ 2가 된다.
a가 홀수라면
a ^ 2도 홀수이므로
a는 짝수이다.
a가 짝수이므로 적당한 정수
a'에 대해서
a = 2 a'이고, 대입하고 정리하면
b^2=2a'^2가 된다.
b가 홀수라면
b ^ 2도 홀수이므로
b는 짝수이다. 그런데 이는
a,
b가 서로소임에 모순이다.
여기에서
\\sqrt{2}가 유리수가 아님을 얻을 수 있다. 그러나 이 수는 실수이므로
\\sqrt{2}는 무리수이다. ■
