Suslin's hypothesis
러시아의 수학자 미하일 수슬린이 1920년에 제기한 가설이다. 직관적으로 보면 "실수의 성질을 만족하는 선형 순서집합은 실수밖에 없지 않나?"라는 당연해 보이는 질문에서 시작한다.
목차
1. 정의
2. 수슬린 선과 수슬린 나무
3. ZFC와의 관계 및 독립성
비유계 조밀 완비이면서 가산 사슬 조건(Countable chain condition)을 만족시키는 순서집합이 실수 집합뿐이라는 가설이다.
2. 수슬린 선과 수슬린 나무 ✎
수슬린 가설의 반례를 수슬린 선(Suslin line)이라 부른다; 정확히는, 비유계 조밀 완비이고 가산 사슬 조건을 만족하나 가산 조밀 집합을 가지지 않는 전순서집합을 수슬린 선이라 부른다. 즉, 실수 \mathbb{R}의 가장 핵심적인 성질인 가산 조밀 집합의 존재를 결여하고 있음에도 불구하고 CCC를 만족하는 괴상한 대상이다.
어느 나무가 수슬린 나무(Suslin tree)란 것은 높이 \omega_1인 나무 중 모든 가지의 길이가 기껏가산이며 모든 반사슬이 기껏가산인 것을 말하는데, 수슬린 선의 존재성은 수슬린 나무의 존재성과 동치이다.
3. ZFC와의 관계 및 독립성 ✎
수슬린 가설은 ZFC와 일반화된 연속체 가설과 독립임이 알려져 있다. 즉, ZFC 내에서 참인지 거짓인지 증명할 수 없다.
마틴의 공리와 연속체 가설의 부정을 가정하면 수슬린 가설은 참이다; 반면 V=L임을 가정하면 수슬린 가설은 거짓이 된다. 즉, "이 세상은 어떻게 구성되어 있는가?"라는 기초론적 관점에 따라 가설의 진위가 뒤집히는 것이다.
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