집합론에서, 아론샤인 나무(Aronszajn tree)는 나무의 일종이다. ZFC에서 그 존재성이 보장되지 않는
수슬린 나무와는 달리 ZFC 내에서 그 존재성이 보장된다.
목차
1. 정의
2. 존재성
어느 나무
(T,\le)가 아론샤인 나무란 것은 다음 세 조건을 만족하는 경우를 말한다.
T의 높이는 \omega_1이다.T의 가지의 길이는 기껏가산이다.- 높이
\alpha에 위치한 T의 원소들은 기껏가산히 많다.
여기서 세 번째 조건을 '
T의 반사슬의 원소가 기껏가산히 많다'로 바꾸면 수슬린 나무의 정의가 얻어진다.
ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다.
가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합
\Bbb{Q}^{<\omega_1}을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면
(\Bbb{Q}^{<\omega_1},\subseteq)는 나무가 된다. 하지만 이의 높이
\omega인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다.
각
\alpha에 대해
T의
\alpha번째 층
T_\alpha를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다:
T_0=\{\varnothing\}으로 두고,
T_\alpha가 주어졌을 때
T_{\alpha+1}을 위로 유계인
s\in T_\alpha와 유리수
q\ge\sup s에 대해
s^\frown q꼴의 원소들의 집합이라 하자.
이제
\alpha가 극한서수이고 각
\beta<\alpha에 대해
T_\beta가 주어졌다 하자. 우선 각
T_\beta는 가산이고, 따라서
\bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta는 가산이다. 각
s\in \bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta와 유리수
r>\sup s에 대해
s\subset t이고
\operatorname{dom} t=\alpha,
\sup t\le r인
t를 선택하자. 이제
T_\alpha를 그러한
t들의 집합으로 정의하자. 이제
T=\bigcup_{\alpha<\omega_1}T_\alpha로 정의하면
T는 아론샤인 나무이다.
