Prime number theorem
lim_{xto infty}frac{pi(x)ln{x}}{x}=1
이 된다는 정리다. 여기서
pi(x)는
소수 계량 함수이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.
1. 오차항의 표현 ✎
x가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
pi(x)=frac{x}{ln{x}}+Oleft(frac{x}{(ln{x})^2}right)
하지만
left|pi(x)-frac{x}{ln{x}}right|gg frac{x}{(ln{x})^2}
이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
Lambda(n):=begin{cases}ln{p} & text{if};n=p^k text{ for some positive integer};k \ 0 & text{otherwise}end{cases}
라고 정의하고
psi(x):=sum_{nle x}Lambda(n)
이라고 한다면 임의의
c>0에 대해서
psi(x)=x+Oleft(xe^{-csqrt{ln{x}}}right)
이다. 나아가 임의의
varepsilon>0에 대해서
psi(x)=x+O_{varepsilon}(x^{frac{1}{2}+epsilon})
이라는 것은
리만 가설과 동치가 된다.
2. 동치인 표현들 ✎
lim_{x to infty}frac{pi(x)log pi(x)}{x}=1lim_{n to infty}frac{p_n}{n log n}=1
lim_{x to infty} frac{vartheta(x)}{x}=1lim_{x to infty} frac{psi(x)}{x}=1
sum_{n=1}^{infty}frac{mu(n)}{n}=0
lim_{x to infty} frac{M(x)}{x}=0
3. 참고 문헌 ✎
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.
