Mobius μ-function,
\mu(n)중요한 수론적 함수 중 하나이며,
n의 소인수분해 결과에 따라 그 값이 결정된다.
목차
1. 정의
2. 성질
2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합
2.1.1. 증명
2.2. 뫼비우스 반전 공식
자연수 n에 대해 \mu(n)은 다음과 같이 정의된다.
\mu (n) := \begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ (-1)^k & \text{if}\ 1<n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}\text{ and } e_i=1 \text{ for all }i\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}
2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 ✎
\sum_{d \mid n}\mu(d) = \left[\frac{1}{n}\right]=\begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ 0 & \text{if}\ n>1\end{cases}
여기서 \mu=u^{-1}을 얻을 수 있다. 여기서 u는 u(n)=1인 단위함수이며, {}^{-1}은 디레클레 곱의 역원을 말한다.
n=1일 때는 자명. n \geq 2일 때 n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}로 소인수분해하면 d가 어떤 소수의 제곱으로 나누어 떨어질 때 \mu(d)=0이므로
\sum_{d \mid n}\mu(d)=\mu(1)+\sum_{p_1 \mid n} \mu(p_1)+\sum_{p_1 \mid n,\ p_2 \mid n,\ p_1 \neq p_2} \mu(p_1p_2)+ \cdots\\=1+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+ \cdots +\binom{k}{k}(-1)^k=(1-1)^k=0
수론적 함수
f,g에 대하여
f(n)=\sum_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})
