먼저
\Re{s}>1일 때
\zeta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}
라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.
\Bbb{C}에서 f가 \Bbb{C}의 한 개집합 U_1에서 해석적이고 g가 \Bbb{C}의 개집합 U_2에서 해석적이라고 하자. 이제 U_1\cap U_2가 공집합이 아니고 U_1\cap U_2의 한 개집합 U_3에서 f=g라면 U_1\cap U_2에서도 f=g다.
이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다
f와 g가 \Bbb{C}의 개집합 U에서 정의되고 해석적이라고 하자. 그리고 U 위의 수열 \{z_n\}이 있어 f(z_n)=g(z_n)이라고 하자. 그러면 U에서 f=g다.
이 정리의 의미는
f가
U_1에서 정의되고
g가
U_1을 포함하는
U_2에서 정의된다고 하고
f=g on
U_1이라면
g는
f의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는
U_1에서 정의되는 다른
h를 정의해서
U_1에서
f=h나
g=h가 되어도 마찬가지다. 이를 전문용어로 해석적 연속(Analytic Continuation)이라고 부른다.
이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는
\zeta(s)가
\Re{s}>1에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로
\zeta(s)는
\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>1\}이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는
\zeta(s)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(2n)^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\frac{1}{2^s}\zeta(s)임을 알 수 있고 이제
\eta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}라고 정의하자. 그러면
\eta(s)는
\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>0\}에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면
(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=\eta(s)가 되고 그러므로 우리는
\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\eta(s)를 얻을 수 있다. 이는
\Re{s}>1에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까
\zeta(s):=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\eta(s)라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은
\Re{s}>0에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과
\Re{s}>1에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로
\Bbb{C} 전체에서 정의되는
\zeta(s)와
\Re{s}>1에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시
\Re{s}>0에서도 같아야 한다. 참고로
s=1에서는 분모가 0이 되어 함숫값이 정의되지 않는데, 이는 조화급수가 발산하는 것과 일맥상통한다.
이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.
\zeta(s)=0의 모든 자명하지 않은 근 s는 \Re{s}=\frac{1}{2}를 만족한다.
여기에서
s=-2n\ (n \in \Bbb{N})도
\zeta(s)=0을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다. 가설이 주장하는 바는 자명하지 않은 모든 근은 복소평면 위의
x=1/2라는 직선 위에 일렬로 서 있을 것이라는 점이다.
