Riemann hypothesis
1859년 베른하르트 리만이 처음 형식화한 것으로 수학사에서 정수론의 미해결 문제 중 유명한 문제이다. 이 가설은 리만 제타 함수의 영점에 대한 추측이다.
리만 가설은 소수의 규칙성과 연관되어 있는 것이 특징이다. 적절한 일반화와 함께, 이 문제는 순수수학에서 해결되지 않은 중요한 몇 가지 수학 문제 중 하나이다. 리만 가설은 힐베르트의 힐베르트의 문제들 중 골드바흐의 추측과 함께 힐베르트의 8번째 문제와, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나에 속한다. 이것은 공식화된 이후에도 미해결된 상태로 남아 있으며, 현재까지도 수많은 천재들이 도전하고 있으나 여전히 난공불락의 요새로 남아 있다.
먼저
\\Re{s}>1일 때
\\zeta(s):=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}
라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.
- \\Bbb{C}에서 f가 \\Bbb{C}의 한 개집합 U_1에서 해석적이고 g가 \\Bbb{C}의 개집합 U_2에서 해석적이라고 하자. 이제 U_1\\cap U_2가 공집합이 아니고 U_1\\cap U_2의 한 개집합 U_3에서 f=g라면 U_1\\cap U_2에서도 f=g다.
이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다
- f와 g가 \\Bbb{C}의 개집합 U에서 정의되고 해석적이라고 하자. 그리고 U 위의 수열 \\{z_n\\}이 있어 f(z_n)=g(z_n)이라고 하자. 그러면 U에서 f=g다.
이 정리의 의미는
f가
U_1에서 정의되고
g가
U_1을 포함하는
U_2에서 정의된다고 하고
f=g on
U_1이라면
g는
f의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는
U_1에서 정의되는 다른
h를 정의해서
U_1에서
f=h나
g=h가 되어도 마찬가지다. 이를 전문용어로 해석적 연속(Analytic Continuation)이라고 부른다.
이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는
\\zeta(s)가
\\Re{s}>1에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로
\\zeta(s)는
\\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>1\\}이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는
\\zeta(s)=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{(2n)^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\frac{1}{2^s}\\zeta(s)임을 알 수 있고 이제
\\eta(s):=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}라고 정의하자. 그러면
\\eta(s)는
\\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>0\\}에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면
(1-\\frac{1}{2^s})\\zeta(s)=\\eta(s)가 되고 그러므로 우리는
\\zeta(s)=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)를 얻을 수 있다. 이는
\\Re{s}>1에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까
\\zeta(s):=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은
\\Re{s}>0에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과
\\Re{s}>1에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로
\\Bbb{C} 전체에서 정의되는
\\zeta(s)와
\\Re{s}>1에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시
\\Re{s}>0에서도 같아야 한다. 참고로
s=1에서는 분모가 0이 되어 함숫값이 정의되지 않는데, 이는 조화급수가 발산하는 것과 일맥상통한다.
이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.
- \\zeta(s)=0의 모든 자명하지 않은 근 s는 \\Re{s}=\\frac{1}{2}를 만족한다.
여기에서
s=-2n\\ (n \\in \\Bbb{N})도
\\zeta(s)=0을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다. 가설이 주장하는 바는 자명하지 않은 모든 근은 복소평면 위의
x=1/2라는 직선 위에 일렬로 서 있을 것이라는 점이다.
먼저
a\\ge \\frac{1}{2}일 때
\\mathrm{Re}{s}>a에서
\\zeta(s)의 zero가 없게 되면
x\\ge 1일 때
\\vartheta(x):=\\sum_{p\\le x}\\ln{p}라고 정의하면 (물론 여기에서
p는 소수라고 하자.)모든
\\varepsilon>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{\\varepsilon}(x^{a+\\varepsilon})이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은
x\\ge 3일 때 모든
c>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{c}\\left(x\\exp{\\left(-c\\frac{(\\ln{x})^{\\frac{3}{5}}}{(\\ln{\\ln{x}})^{\\frac{1}{5}}}\\right)}\\right)으로 아직도
a=1에서 벗어나지 못하고 있다. 즉, 리만 가설이 참이라면 소수가 나타나는 주기를 매우 정교한 오차 범위 내에서 예측할 수 있게 된다.
이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측
(1)를 증명할 수 있으며
(2) 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다.
(3) 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.
대중적으로는 리만 가설이 풀리면 현재의 암호 체계가 무너진다는 이야기가 상식처럼 퍼져 있다. 하지만 리만 가설의 증명 자체가 암호를 즉시 해독해 주는 공식을 제공하는 것은 아니며, 단지 소수 분포에 대한 더 깊은 통찰을 제공할 뿐이다. 물론 그 통찰이 암호 해독의 실마리가 될 가능성은 충분하다.
3. 유사한 것 ⊖
리만 제타 함수뿐만 아니라 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)의 영(Zero)에 대해서도 리만 가설과 비슷한 것을 생각할 수 있고 이를 일반화된 리만 가설이라고 하며 역시 증명되지 않았다.
베유의 추측(Weil conjecture)이라는 \\Bbb{C}가 아닌 유한체에서 정의된 제타함수의 영에 대한 추측이 있었는데 이는 1973년에 들리뉴(Deligne)에 의해서 증명된다. 이것은 보통 리만 가설과는 좀 다르게 대수기하학과 호몰로지 대수학에 대한 깊은 이해를 필요로 한다. 이것의 증명은 해석적 정수론에서 지수합(Exponential sum)의 유계(Bound)에 큰 역할을 했다. 이 때문에 수학자들은 "유한체에서는 되는데 왜 복소수체에서는 안 되는 거야!"라며 좌절하기도 한다.
