Sum of three squares
이 문서는 세 제곱수의 합에 대한
카를 프리드리히 가우스 의 정리에 대해 서술하고 있다.
자연수 N 이 4^n(8m+7)\\ (m,n \\in \\Bbb N_0) 꼴이 아닌 것과 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있는 것은 동치이다.
우선
4^n(8m+7)\\ (m,n \\in \\Bbb N_0) 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없음을 보이자.
만약 가능하다면,
4^n(8m+7)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 인 음이 아닌 정수
x_1,x_2,x_3 가 존재한다.
n \\geq 1 이면
4 \\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2 이므로
x_1,x_2,x_3 가 모두 짝수일 수 밖에 없다. 따라서 음이 아닌 정수
\\frac{x_1}{2},\\frac{x_2}{2},\\frac{x_3}{2} 에 대해
4^{n-1}(8m+7)=\\left(\\frac{x_1}{2}\\right)^2+\\left(\\frac{x_2}{2}\\right)^2+\\left(\\frac{x_3}{2}\\right)^2
가 성립한다.
이와 같은 논리로
8m+7=y_1^2+y_2^2+y_3^2 인 음이 아닌 정수
y_1,y_2,y_3 를 찾을 수 있는데, 항상
y_1^2+y_2^2+y_3^2 \\not\\equiv 7 \\pmod 8 이므로 이는 모순이다. 따라서
4^n(8m+7)\\ (m,n \\in \\Bbb N_0) 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없다.
이제 다른 경우에는 항상 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.
이 문단은 본 증명에 사용되는 정수 계수 이차형식의 성질에 대해 설명하고 있습니다. 아래에 언급되는 모든 행렬은 정수 계수입니다.
3.1. 행렬의 집합과 동치관계 ✎ ⊖ 정수 계수
n \\times n 행렬들을 생각하자. 이 때 이 행렬들의 집합
M_n(\\Bbb Z) 는
환 이 되고, 행렬식이 1인 것만 모아
{SL}_n(\\Bbb Z) 를 만들면 이
군 은
M_n(\\Bbb Z) 에 다음과 같이
작용 한다:
A \\in M_n(\\Bbb Z),\\ U \\in {SL}_n(\\Bbb Z) 에 대해 A \\cdot U=U^T A U
이제
A,B \\in M_n(\\Bbb Z) 가
동치관계 일 조건, 즉
A \\sim B 일 조건을
A,B 가 같은 궤도에 들어있을 때로 정의하자. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.
n \\times n 행렬
A=(a_{i,j}) 에 대해,
A 에 대응되는
이차형식 (Quadratic form)
F_A 를 다음과 같이 정의한다:
F_A(x_1,\\cdots,x_n):=\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}x_ix_j
예를 들면
F_{I_n}(x_1,\\cdots,x_n)=x_1^2+\\cdots+x_n^2 인 식이다.
만약
n \\times 1 벡터
x 를 다음과 같이 정의한다면,
x:=\\begin{pmatrix} x_1\\\\ \\vdots\\\\ x_n\\end{pmatrix}
이차형식
F_A 는 다음과 같이 쓸 수 있다:
F_A(x)=x^TAx
F_A 의
판별식 (discriminant)은
A 의 행렬식으로 정의한다. 같은 동치류에 들어있는 이차형식은 판별식의 값이 같다.
크기가 같은 행렬
A,B 에 대해
A \\sim B 일 때
F_A \\sim F_B 로 정의한다. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.
정수계수 열벡터
x 가 존재하여 정수
N 에 대해
F_A(x)=N 이 성립할 때,
F_A 는 N 을 표현한다(represent)고 말한다.
F_A \\sim F_B 이면
A \\sim B 에서
U \\in SL(\\Bbb Z) 가 존재하여
B=U^TAU 이므로
F_B(x)=x^TBx=(Ux)^TA(Ux)=F_A(Ux)
이다. 따라서 동치인 이차형식들은 표현할 수 있는 정수의 집합이 동일하다.
이차형식
F_A 가 모든 원소가 0인 열벡터 외의 다른 열벡터들에 대해 1 이상의 값을 가질 때, 이를
양의 정부호이차형식 (positive-definite quadratic form)이라고 한다.
3.3. 이항이차형식의 성질 ✎ ⊖ 변수가 두 개인 이차형식을 이항이차형식 (Binary quadratic form)이라고 한다.F_{I_2}(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2 와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.
2 \\times 2 대칭행렬 A=\\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\\\ a_{1,2} & a_{2,2} \\end{pmatrix} 에 대응되는 이차형식 F_A 가 양의 정부호이차형식일 필요충분조건은 a_{1,1} \\geq 1 이고 d=\\det(A)=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 \\geq 1 인 것이다.
판별식이 d 인 양의 정부호이차형식의 동치류는 2|a_{1,2}| \\leq a_{1,1} \\leq \\frac{2}{\\sqrt{3}}\\sqrt{d} 인 양의 정부호이차형식 F_A(x_1,x_2)=a_{1,1}x_1^2+2a_{1,2}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2 를 적어도 하나 가진다.
F 가 판별식이 1인 양의 정부호이항이차형식이라고 하자. 보조정리 2에 의해
F 와 동치인 형식
a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2 가 존재하여
2|a_{1,2}| \\leq a_{1,1} \\leq \\frac{2}{\\sqrt{3}}<2
가 성립한다. 보조정리 1에 의해
a_{1,1} \\geq 1 이므로
a_{1,1}=1 이다. 그러면
2|a_{1,2}| \\leq a_{1,1}=1 에서
a_{1,2}=0 을 얻는다. 또한
F 의 판별식이 1인 것에서
a_{2,2}=1 을 얻는다. 따라서
F 는
a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2=x_1^2+x_2^2 과 동치이다.
3.4. 삼항이차형식의 성질 ✎ ⊖ 변수가 세 개인 이차형식을 삼항이차형식 (Tenary quadratic form)이라고 한다.F_{I_3}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.
3 \\times 3 대칭행렬
A=(a_{i,j}) 와 이에 대응되는 삼항이차형식
F_A 를 생각하고, 그 판별식을
d 라 하자. 이 때
A^*=\\begin{pmatrix}a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} \\\\a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}^2\\end{pmatrix}
에 대응되는 이항이차형식
G_{A^*} 에 대해 이 형식은
a_{1,1}d 를 판별식으로 가지며 다음 식이 성립한다:
a_{1,1}F_A(x_1,x_2,x_3)=(a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3)
만약
F_A 가 양의 정부호형식이라면
G_{A^*} 도 양의 정부호형식이 된다.
또한
F_A 가 양의 정부호형식일 필요충분조건은
\\det \\begin{pmatrix} a_{1,1} \\end{pmatrix} = a_{1,1} \\geq 1 \\\\\\det \\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\\\ a_{1,2} & a_{2,2} \\end{pmatrix} = d' \\geq 1 \\\\\\det A = d \\geq 1
이다.
3 \\times 3 대칭행렬
B=(b_{i,j}) 에 대응되는 삼항이차형식
F_B 가 양의 정부호형식이라고 하자.
G_{B^*} 는 다음 식을 만족하는 유일한 양의 정부호이항이차형식이라고 하자:
b_{1,1}F_B(y_1,y_2,y_3)=(b_{1,1}y_1+b_{1,2}y_2+b_{1,3}y_3)+G_{B^*}(y_2,y_3)
임의의
V^*=(v_{i,j}^*) \\in {SL_2(\\Bbb Z)} 에 대해
A^*=(V^*)^T B^* V^* (\\sim B^*) 라 하고 이에 대응되는 양의 정부호이항이차형식을
G_{A^*} (\\sim G_{B^*}) 라 하자.
임의의 정수
r,s 에 대해
V_{r,s}=(v_{i,j})=\\begin{pmatrix} 1 & r & s \\\\ 0 & v_{1,1}^* & v_{1,2}^* \\\\ 0 & v_{2,1}^* & v_{2,2}^* \\end{pmatrix} \\in {SL}_3(\\Bbb Z) \\\\ \\\\A_{r,s}=V_{r,s}^T B V_{r,s}=(a_{i,j})
를 생각하고,
A_{r,s} 에 대응되는 삼항이차형식을
F_{A_{r,s}} 라 하자.
그러면
a_{1,1}=b_{1,1} 이고
a_{1,1}F_{A_{r,s}}(x_1.x_2,x_3)=(a_{1,1}x_2+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3)
가 성립한다.
u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1} 가 (u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1})=1 인 정수들이라고 하자.u_{i,j} \\in \\Bbb Z\\ (i=1,2,3,\\ j=2,3) 가 존재하여 U=(u_{i,j}) \\in {SL}_3(\\Bbb Z) 이다. 다시 말해, \\det(U)=1 이다.
판별식이
d 인 양의 정부호삼항이차형식의 임의의 동치류는 다음 부등식을 만족하는 형식
\\sum a_{i,j}x_ix_j 를 적어도 하나 포함한다:
2 \\max(|a_{1,2},|a_{1,3}||) \\leq a_{1,1} \\leq \\frac{4}{3}\\sqrt[3]{d}
F 가 판별식이 1인 양의 정부호삼항이차형식이라고 하자. 보조정리 4에 의해
0 \\leq 2 \\max(|a_{1,2}|,|a_{1,3}|) \\leq a_{1,1} \\leq \\frac{4}{3}
인 형식
F_A=\\sum a_{i,j}x_ix_j 가 존재하여
F \\sim F_A 이다. 위 부등식에서
a_{1,2}=a_{1,3}=0 을 얻는다. 또한 보조정리 1의
양의 정부호이차형식의 조건 에 의해
a_{1,1} \\geq 1 이므로
a_{1,1}=1 이다.
즉
A 는 아래와 같은 모양을 가지며,
A=\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\\\ 0 & a_{2,3} & a_{3,3} \\end{pmatrix}
2 \\times 2 행렬
A^*=\\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\\\ a_{2,3} & a_{3,3} \\end{pmatrix}
는 행렬식이 1이고 대응되는 이차형식
F_{A^*} 가 양의 정부호형식이 된다.
따라서 이항이차형식의 성질에 의해
F_{A^*} \\sim I_2 이므로
U^*=(u_{i,j}) \\in {SL}_2(\\Bbb Z) 가 존재하여
(U^*)^T A^* U^*=I_2 가 된다.
이 때
U=\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & u_{1,1} & u_{1,2} \\\\ 0 & u_{1,2} & u_{2,2} \\end{pmatrix} \\in {SL}_3(\\Bbb Z)
로 두면
U^TAU=I_3 가 되므로
A \\sim I_3 이다. 따라서 증명되었다.
자연수
n \\geq 2 를 생각하자. 만약
d' \\in \\Bbb N 이 존재하여
-d' 이
d'n-1 의
이차 잉여 이면,
n 은 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.
이를 이용하여 어떤 자연수 n 에 대해 위의 조건을 만족하는 d' 을 찾아 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보일 것이다.
5. 가능한 경우 ✎ ⊖ n \\equiv 2 \\pmod 4 n \\equiv 1,3,5 \\pmod 8 Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases . Graduate Texts in Mathematics 164. Springer. ISBN 9780387946566. VIDEO 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0 에 따라 이용할 수 있습니다. 본 문서의 원본은
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