環 / Ring
덧셈과 곱셈을 갖고 있는 대수적 구조 중 하나이다.
대수 구조
(R,+,\\cdot)이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다:
- (A1, 덧셈에 대한 교환성) \\forall x \\forall y :x+y=y+x
- (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) \\forall x \\forall y \\forall z : (x+y)+z=x+(y+z)
- (A3, 덧셈의 항등원) \\exists 0 \\forall x :0+x=x+0=x
- (A4, 덧셈의 역원) \\forall x\\exists y: x+y=y+x=0
- (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) \\forall x \\forall y \\forall z :(x\\cdot y)\\cdot z=x\\cdot (y\\cdot z)
- (D1, 좌분배법칙) \\forall x \\forall y \\forall z :x\\cdot(y+z)=x\\cdot y + x\\cdot z
- (D2, 우분배법칙) \\forall x \\forall y \\forall z :(x+y)\\cdot z=x\\cdot y+x\\cdot z
A1~A4 에서
(R,+) 가
아벨 군임을 알 수 있다.
저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다.
- (M2, 곱셈의 항등원) \\exists 1 \\forall x :1\\cdot x=x\\cdot 1=x
이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면
(R,\\cdot)는
모노이드임을 알 수 있다.
여기서 다음 곱셈에 대한 교환법칙
\\forall x \\forall y : x\\cdot y= y\\cdot x
을 만족하면 이 환을
가환환(可換環, Commutative ring) 이라고 한다.
환의 정의에서 곱셈의 항등원을 가지지 않는 대수 구조를 유사환(類似環, pseudoring)이라고 한다. 환과 유사환을 구별하지 않을 때에는 유사환을 환이라고 할 수도 있다.
환의 예시로는 다음이 있다.
- 임의의 체
- 정수환 \\mathbb{Z}과 이의 대수적 확대
- 불 대수
- 체 위에서 정의되는 행렬 대수
- 사원수 체계
