環 / Ring
덧셈과 곱셈을 갖고 있는 대수적 구조 중 하나이다.
목차
1. 정의
1.1. 가환환
1.2. 유사환
2. 예시
3. 영상
대수 구조
(R,+,\cdot)이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다:
- (A1, 덧셈에 대한 교환성)
\forall x \forall y :x+y=y+x - (A2, 덧셈에 대한 결합법칙)
\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z) - (A3, 덧셈의 항등원)
\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x - (A4, 덧셈의 역원)
\forall x\exists y: x+y=y+x=0 - (M1, 곱셈에 대한 결합법칙)
\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) - (D1, 좌분배법칙)
\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z - (D2, 우분배법칙)
\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z
A1~A4 에서
(R,+) 가
아벨 군임을 알 수 있다.
저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다.
- (M2, 곱셈의 항등원)
\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x
이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면
(R,\cdot)는
모노이드임을 알 수 있다.
여기서 다음 곱셈에 대한 교환법칙
\forall x \forall y : x\cdot y= y\cdot x
을 만족하면 이 환을
가환환(可換環, Commutative ring) 이라고 한다.
환의 정의에서 곱셈의 항등원을 가지지 않는 대수 구조를 유사환(類似環, pseudoring)이라고 한다. 환과 유사환을 구별하지 않을 때에는 유사환을 환이라고 할 수도 있다.
환의 예시로는 다음이 있다.
- 임의의 체
- 정수환
\mathbb{Z}과 이의 대수적 확대 - 불 대수
- 체 위에서 정의되는 행렬 대수
- 사원수 체계
