사이클로이드 - 시드위키

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サイクロイド / Cycloid

직선 위를 구르는 원의 원주 위의 정점의 자취이다.

목차

1. 설명
2. 길이
3. 넓이
4. 보기
5. 영상

1. 설명 _{✎ ⊖}

단위원의 중심의 자취를 (t, 1)이라고 하자. 그러면 (0, 0)에서 시작된 원 위의 정점은

(t-\\sin t, 1-\\cos t)

를 지나고, 이 자취는 단위원의 사이클로이드가 되며, 주기는 2\\pi이다.

그러므로 반지름이 r인 원의 사이클로이드는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다

x=r(t-\\sin t)\\\\y=r(1-\\cos t)

2. 길이 _{✎ ⊖}

단위원의 사이클로이드의 한 마디의 길이를 구하자. 정점의 자취를 \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{dt}}로 미분하면

(1-\\cos t, \\sin t)

스칼라량으로 전환하면

\\sqrt{(1-\\cos t )^2 + (\\sin^2 t)} = 2|\\sin\\frac{t}{2}|

\\mathrm{dt}로 적분하면

\\int _{0} ^{2\\pi} 2|\\sin\\frac{t}{2}|\\mathrm{dt} = 8 로 원의 지름의 네 배이다.

3. 넓이 _{✎ ⊖}

단위원의 사이클로이드의 한 마디와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

\\int _{0} ^{2\\pi} (1-\\cos t) \\frac{\\mathrm{dx}}{\\mathrm{dt}} \\mathrm{dt} = \\int _{0} ^{2\\pi} (1-\\cos t)^2 \\mathrm{dt} = 3\\pi 로 원의 넓이의 세 배이다.

4. 보기 _{✎ ⊖}

트로코이드

5. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 설명 ✎ ⊖

2. 길이 ✎ ⊖

3. 넓이 ✎ ⊖

4. 보기 ✎ ⊖

5. 영상 ✎ ⊖

1. 설명 _{✎ ⊖}

2. 길이 _{✎ ⊖}

3. 넓이 _{✎ ⊖}

4. 보기 _{✎ ⊖}

5. 영상 _{✎ ⊖}