複素數 / Complex Number,
\mathbb{C}실수체
\mathbb{R}에 허수단위
i(=\sqrt{-1})을 첨가함으로써 이루어지는 체의 원소로 실수와 허수로 이루어진다. 대수적 수 체계에서 가장 큰 수의 개념이다. 모든 복소수는
a+bi\ (a,b\in \mathbb{R})로 나타낼 수 있으며 a를 실수부, b를 허수부라고 한다. 특히
bi 를 순허수라고 한다. 물론
a는 복소수이면서 실수이다.
목차
1. 대수적 구조
2. 켤레복소수
3. x^3=1 의 허근
4. 보기
5. 영상1. 대수적 구조 ✎
복소수의 집합은
체를 이룬다.
- 덧셈에 대한 항등원 : 0
- 곱셈에 대한 항등원 : 1
z\ (=a+bi)의 덧셈에 대한 역원 : -z\ (=-a-bi)z\ (=a+bi)의 곱셈에 대한 역원 : \frac{1}{z}\ (=\frac{a-bi}{a^2+b^2})
2. 켤레복소수 ✎
어떤 복소수
\alpha=a+bi에 대하여
a-bi를
\alpha의 켤레복소수라고 하며
\overline{\alpha} 로 나타낸다.
이러한 연산을 복소켤레라고 한다.
\alpha+\overline{\alpha} = 2a\alpha\overline{\alpha} = a^2+b^2\alpha가 실수이면 \overline{\alpha}=\alpha- 또다른 복소수
\beta = c+di가 있으면 \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} 이며, 이는 곱셈, 나눗셈에도 동일하게 적용된다.
3. x^3=1 의 허근 ✎
대한민국의 고등학교 교과서의 복소수 단원에는
x^3=1 또는
x^3=-1의 허근의 성질에 대해서 다루는 경우를 흔하게 볼 수 있다. 이 허근을 교과서나 문제집에서는 대부분
\omega라고 표시한다.
x^3=1의 성질은 다음과 같다.
\omega^3=1\omega^2+\omega+1=0
