Logarithm
고정된 밑을 몇 번 곱하여야 특정한 수가 되는지를 나타내는 함수이다.
목차
1. 정의
2. 성질
3. 로그함수
4. 복소로그
5. 영상
양수 a (\neq 1)를 b(>0)번 곱하여(a^b) N이 될 때, 이러한 관계는 다음과 같이 나타난다.
\log_a N = b
이때 a를 밑, N을 진수라 한다.
밑이 10인 로그는 상용로그(Common logarithm), 밑이 e(자연상수)인 로그는 자연로그(Natural logarithm)로 불린다. 교과 수학에서 전자는 \log, 후자는 \ln으로 표기하며, 이후 상용로그는 잘 쓰이지 않기 때문에 일반적으로 자연로그를 \log로 표기한다.
1이 아닌 양수
a, b, c 와 양수
M, N에 대해 다음이 성립한다.
\log_a MN = \log_a M + \log_a N\log_a M=\alpha, \log_a N= \beta이면 a^\alpha=M, a^\beta=N에서 지수법칙에 의해 a^{\alpha+\beta}=MN이므로 \log_a MN=\alpha + \beta 이다. \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_aN\log_a M=\alpha, \log_a N= \beta이면 a^\alpha=M, a^\beta=N에서 지수법칙에 의해 a^{\alpha-\beta}=\frac{M}{N}이므로 \log_a \frac{M}{N}=\alpha - \beta 이다. \log_a N^k = k \log_a N (k는 실수)\log_a N=\alpha이면 a^\alpha = N에서 (a^\alpha)^k=N^k이므로 \log_a N^k = k \alpha이고 이는 k \log_a N = k \alpha 와 같다. \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b (m\neq 0)n\log_{a^m} b = n\alpha 이면 (a^m)^\alpha = b 에서 지수법칙에 의해 a^{m\alpha}=b 이고 \log_a b = m\alpha에서 \log_{a^m} b=\frac{1}{m}\log_{a} b이므로 \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b 가 성립한다. \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}\log_b N = \alpha, \log_b a = \beta 이면 b^\alpha=N, b^\beta=a 이므로 \log_a N = \log_{b^\beta} b^{\alpha}=\frac{\alpha}{\beta}\log_b b 에서 이는 \frac{\log_b N}{\log_b a}와 같다. a^{\log_c b} = b^{\log_c a}- 양변에 밑이
c인 로그를 취하면 \log_c b \log_c a = \log_c a \log_c b 이므로 성립한다.
y=\log_a x\ (a>0, a\neq 1) 꼴의 함수를
로그함수라고 한다. 이는
거듭제곱을 함수로 나타낸
y=a^x 꼴의 역함수라고도 할 수 있다.
복소로그(Complex logarithm)는 밑이 e일 때 진수의 정의역을 복소수로 확장한 것이다. 이는 복소지수의 역함수로 정의된다.
