Exponentiation
거듭제곱은 이항연산의 하나로 어떤 수를 여러 번 곱하는 연산을 말한다.
목차
1. 정의
2. 확장
2.1. 밑의 범위
3. 지수법칙
4. 지수함수
5. 영상
자연수 a, b에 대해 a를 b번 곱하는 거듭제곱 a \times a \times \cdots \times a \times a 를 다음과 같이 쓴다.
a^b
이때 a를 밑, b를 지수라 한다.
실수
a에 대해 다음과 같이 거듭제곱에서의 지수의 범위를 확장할 수 있다.
a\neq 0 에 대해 a^0=1 이다. (음이 아닌 정수)a\neq 0 와 정수 n 에 대해 a^{-n}=\frac{1}{a^n} 이다. (정수)a>0 와 정수 m, n\ (n\neq 0)에 대해 a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} 이다. (유리수)a>0 와 실수 x 에 대해 a^{x}=e^{x\ln a} 이다. (실수, 오일러의 공식)
0^0은 a^0=1, 0^a=0이므로 정의하지 않는다. 다만, \lim_{x \to 0} x^x=1 은 성립한다.- 밑이 음수인 경우
\sqrt{-1}=-1^{\frac{1}{2}}=-1^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{-1^2}=\sqrt[4]{1}=1 과 같은 모순이 발생하므로 유리수 지수에 대해 정의하지 않는다.
양수
a, b와 실수
x, y에 대해 다음이 성립한다.
a^x a^y = a^{x+y}a^x \div a^y = a^{x-y}(a^x)^y=a^{xy}(ab)^x=a^x b^x
y=2^x\ (a>1)y=(\frac{1}{2})^x (=2^{-x})\ (0<a<1)y=a^{(x-b)}+c (
a\neq 1, a>0) 와 같이 거듭제곱의 지수를 변수로 하는 함수를
지수함수라고 한다. 지수함수는 다음과 같은 특징을 가진다.
- 일대일함수이다.
\mathbb{R}\to (0,\infty)인 연속함수이다.- 초월함수이다.
지수함수 중에서
y=a^x (
a\neq 1, a>0) 는 다음과 같은 특징을 가진다.
y=\log_a x와 y=x 대칭이다. 그러므로 지수함수는 로그함수의 역함수 관계이다.x축을 점근선으로 갖는다.0<a<1이면 감소함수, a>1이면 증가함수이다.- 점
(0, 1) 을 지난다. - 도함수는
a^x \ln a 이다.
