Limit of the function
직관적으로
x가 a로 한없이 가까워질 때 f(x)가 L로 접근하면 이것을 기호로 \\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L로 표현하고, L은 x\\to a일 때 f(x)의 극한값이다.
로 정의하는 수학적 개념이다.
직관적 정의에서 가까워지다나 접근하다는 수학적 표현이 아니기 때문에 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 수학적으로 정의한다.
\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L 와 \\forall \\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|< \\epsilon은 동치이다.
풀어 말하면, 모든 양의 실수 엡실론
ε (오차)에 대해,
|x-a|가
0과
δ 사이의 수일 때
|f(x)-L|이
ε보다 작아지는 어떤 양의 실수
δ가 존재한다는 뜻이다.
엡실론-델타 논법으로 발산과 수렴, 좌극한과 우극한을 나타내면 다음과 같다.
(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=\\infty)\\equiv(\\forall M>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow f(x)>M)
(\\lim\\limits_{x\\to \\infty}f(x)=L)\\equiv(\\forall \\epsilon>0,\\ \\exists N>0\\ s.t.\\ x>N \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)
(\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ a-\\delta<x<a \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)
(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ a<x<a+\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)
2. 좌극한과 우극한 ✎ ⊖
(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L)\\equiv(\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\cup(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)
이 성립한다.
직관적으로는 좌극한 ∪ 우극한의 합집합이 극한이고, 극한이 되는 점을 기준으로 극한을 나눈 것이 좌극한과 우극한이다. 수학적으로는 다음의 엡실론-델타 논법을 통해 서로 동치임을 알 수 있다.
\\\\ (\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\cup(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)
\\\\ \\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ (a-\\delta<x<a)\\cup (a<x<a+\\delta) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon) \\\\ \\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)
\\\\ \\equiv(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L) ■
정의에 의해
(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)이다.
이때 두 가지 경우가 존재한다.
- x>a:\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\text{ s.t. } (0<x-a<\\delta\\equiv a<x<a+\\delta) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon
- x<a:\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\text{ s.t. } (0<a-x<\\delta\\equiv a-\\delta<x<a) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon
3. 극한의 성질 ✎ ⊖
\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L, \\lim\\limits_{x\\to a}g(x)=M, k \\in \\mathbb{R} 일 때 아래 조건이 성립한다.
- \\lim\\limits_{x\\to a}k=k
- \\lim\\limits_{x\\to a}kf(x)=kL
- \\lim\\limits_{x\\to a}\\{f(x)\\pm g(x)\\}=L\\pm M
- \\lim\\limits_{x\\to a}f(x)g(x)=L M
- \\displaystyle\\lim\\limits_{x\\to a}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{L}{ M}
- \\lim\\limits_{x\\to a}|f(x)|=|L|
- \\lim\\limits_{x\\to a}\\sqrt{f(x)}=\\sqrt{L}
- \\forall x, f(x)\\geq g(x) \\Rightarrow L \\geq M
