Liouvile's theorem
복소해석함수와 관련된 복소해석학의 주요 정리 중 하나이다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 보기
4. 영상
f:\Bbb{C}\to\Bbb{C}가 복소해석적이라 하자.
(1) 만약
f가 유계이면,
f는 상수함수이다.
우선, 코시의 적분 공식에 의해, z를 내부에 포함하고 있는 임의의 폐경로 C에 대해
f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} d\zeta
이다. f가 유계이므로, 어떤 양수 M이 있어 |f(\zeta)|<M이며, C가 z를 중심으로 하고 반경이 r인 원을 반시계 방향으로 돌아가는 경로라 하면
|f'(z)|=\left| \frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta \right|\le \frac{1}{2\pi} \oint_C \frac{|f(\zeta)|}{|\zeta-z|^2}|d\zeta|\le \frac{1}{2\pi} \oint_C \frac{M}{r^2} |d\zeta|=\frac{M}{r}
위에서 r\to\infty로의 극한을 취하면 f'(z)=0이란 결과를 얻는다. 전 구간에서 항등적으로 f'(z)=0 일 필요충분조건은 f가 상수함수가 되는 것이다.
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