Cauchy sequence
수열이 진행될 수록 임의의 원소들의 거리가 가까워지는 점열이다.
목차
1. 정의
1.1. 실수와 복소수에서
1.2. 거리공간에서
2. 완비성
2.1. 예시
3. 참고문헌
4. 영상
1.1. 실수와 복소수에서 ✎
실수열 (또는 복소수열) \{x_n\}_{n=1}^{\infty}에 대해, 임의의 양수 \epsilon에 대해 양의 정수 N이 존재하여 임의의 정수 m,n\ge N에 대해 |x_n-x_m|<\epsilon이면 \{x_n\}_{n=1}^{\infty}을 코시 수열이라 한다.
(X,d)를
거리공간이라 하자. 점열
\{x_n\}_{n=1}^{\infty}에 대해, 임의의 양수
\epsilon에 대해 양의 정수
N이 존재하여 임의의 정수
m,n\ge N에 대해
d(x_n,x_m)<\epsilon이면
\{x_n\}_{n=1}^{\infty}을 코시 열이라 한다.
거리공간 (X,d)에서 임의의 X의 코시 열이 X 위의 점으로 수렴하면 (X,d)를 완비거리공간이라고 한다. 완비거리공간에서 임의의 코시 열은 수렴한다.
\mathbb{R}, \mathbb{C}는 완비거리공간이다.\mathbb{Q}는 완비거리공간이 아니다.
- Croom, Fred H (1989). Principles of Topology. Singapore: Thomson. ISBN 9812432884
