Mean value theorems for integration, MVTI
미적분학의 기본 정리, 평균값 정리와 더불어 미적분학에서 아주 중요한 정리 중 하나이다.
적분의 평균값 정리는 다음을 말한다.
만약 [a, b]에서 f가 연속, a\\neq b이면
\\exists c \\in (a, b) \\ s.t. \\ \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = f(c)이다.
f가
[a, b]에서 연속이면
[a, b]에서 최대·최소가 존재.
- \\forall x\\in [a, b], \\ m\\leq f(x)\\leq M
- \\Rightarrow \\int_a^b mdx \\leq \\int_a^b f(x)dx \\leq \\int_a^b Mdx
여기서
\\int_a^b c dx = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{k=1}^n c\\Delta x_k = c(b-a)이기 때문에 위 식은 다음과 같이 정리된다.
- m(b-a)\\leq \\int_a^b f(x)dx \\leq M(b-a)
- m \\leq \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx\\leq M
- \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x)dx는 구간 [a, b]에서 최대·최소의 사이에 있는 중간값이므로 중간값 정리에 의해
- \\exists c \\in (a, b) \\ s.t. \\ \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = f(c)
이다. ■
