Mean value theorems for integration, MVTI
미적분학의 기본 정리, 평균값 정리와 더불어 미적분학에서 아주 중요한 정리 중 하나이다.
목차
1. 내용
2. 증명
3. 영상
적분의 평균값 정리는 다음을 말한다.
만약 [a, b]에서 f가 연속, a\neq b이면
\exists c \in (a, b) \ s.t. \ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = f(c)이다.
f가
[a, b]에서 연속이면
[a, b]에서 최대·최소가 존재.
\forall x\in [a, b], \ m\leq f(x)\leq M\Rightarrow \int_a^b mdx \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b Mdx
여기서
\int_a^b c dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n c\Delta x_k = c(b-a)이기 때문에 위 식은 다음과 같이 정리된다.
m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq M\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx는 구간 [a, b]에서 최대·최소의 사이에 있는 중간값이므로 중간값 정리에 의해\exists c \in (a, b) \ s.t. \ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = f(c)
이다. ■
