적분의 평균값 정리 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Mean value theorems for integration, MVTI

[[미적분학의 기본 정리]], 평균값 정리와 더불어 미적분학에서 아주 중요한 정리 중 하나이다.

== 내용 ==
적분의 평균값 정리는 다음을 말한다.

>만약 <math>[a, b]</math>에서 <math>f</math>가 연속, <math>a\neq b</math>이면
><math>\exists c \in (a, b) \ s.t. \ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = f(c)</math>이다.

== 증명 ==
<math>f</math>가 <math>[a, b]</math>에서 연속이면 <math>[a, b]</math>에서 최대·최소가 존재.
* <math>\forall x\in [a, b], \ m\leq f(x)\leq M </math>
  * <math>\Rightarrow \int_a^b mdx \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b Mdx</math>
여기서 <math>\int_a^b c dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n c\Delta x_k = c(b-a)</math>이기 때문에 위 식은 다음과 같이 정리된다.
* <math>m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)</math>
* <math>m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq M</math>
* <math>\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx</math>는 구간 <math>[a, b]</math>에서 최대·최소의 사이에 있는 중간값이므로 중간값 정리에 의해
  * <math>\exists c \in (a, b) \ s.t. \ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = f(c)</math>

이다. ■

== 영상 ==
[youtube(JLO6jjOMHOk)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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