벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.
체 F 와 집합
V 에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.
벡터 덧셈: \\mathbf x, \\mathbf y \\in V 에 대해 \\mathbf x+\\mathbf y \\in V 스칼라 곱: \\mathbf x \\in V, a\\in F 에 대해 a\\mathbf x \\in V 이 때
\\mathbf x, \\mathbf y, \\mathbf z \\in V 와
a, b \\in F 에 대하여 아래의 성질을 만족하면
V 를 체
F 위의 벡터 공간이라고 한다.
덧셈에 대한 결합법칙 (\\mathbf x+\\mathbf y)+\\mathbf z=\\mathbf x+(\\mathbf y+\\mathbf z) 덧셈에 대한 교환법칙 \\mathbf x+\\mathbf y=\\mathbf y+\\mathbf x 덧셈에 대한 항등원 \\forall \\mathbf x \\in V,\\; \\exists \\mathbf 0\\in V\\; s.t. \\; \\mathbf x+\\mathbf 0=\\mathbf 0+\\mathbf x=\\mathbf x 덧셈에 대한 역원 \\forall \\mathbf x \\in V,\\; \\exists (\\mathbf {-x})\\in V\\; s.t. \\; \\mathbf x+(\\mathbf {-x})=(\\mathbf {-x})+\\mathbf x=\\mathbf 0 스칼라 곱에 대한 결합법칙 (ab)\\mathbf x=a(b\\mathbf x) 스칼라 곱에 대한 항등원 1\\cdot \\mathbf x=\\mathbf x 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 a(\\mathbf x+\\mathbf y)=a\\mathbf x+a\\mathbf y 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 (a+b)\\mathbf x=a\\mathbf x+b\\mathbf x
위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고,
F 의 원소들을 '스칼라',
V 의 원소들을 '벡터'라고 부른다.
벡터공간 V 의 부분집합 W 에 대해O\\in W \\forall \\mathbf x, \\mathbf y \\in V, \\mathbf x+\\mathbf y \\in W \\forall a\\in F, \\forall \\mathbf x \\in V, a\\mathbf x\\in W W 를 V 의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.
2.1. 선형결합과 선형독립 ✎ ⊖ 벡터공간 V 의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 에 대해 a_1\\mathbf x_1+a_2\\mathbf x_2+\\cdots+a_n\\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\\cdots ,a_n\\in F) 꼴의 합을 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다. a_1\\mathbf x_1+a_2\\mathbf x_2+\\cdots+a_n\\mathbf x_n=0\\Leftrightarrow a_1=a_2=\\cdots=a_n=0 일 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 가 일차독립이 아니면 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.
벡터공간 V 의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 의 선형결합으로 생성되는 V 의 부분공간을 \\{\\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n\\} 의 생성(span)이라한다. V 의 부분공간 W 의 임의의 원소가 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 의 선형결합으로 나타내어지고, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 의 임의의 선형결합이 W 에 속할 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 는 W 를 생성한다고 한다.
벡터공간 V 의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 이 선형독립이고 V 를 생성할 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n 를 V 의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. V 의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, \\dim V 로 나타낸다.
체 F 에서 정의된 두 벡터공간 V , W 에 대해 V 에서 W 로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다. V 에서 W 로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를 \\mathcal L (V, W) 로 표시한다. 선형변환은 V 의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.
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