증명하고자 하는 것은 임의의
U\geq0에 대해
0\leq u\leq U,\ x\geq2에서
\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right)가 균등하게(uniformly) 성립한다는 것이다. 이를 위해
U에 대한 귀납법을 사용할 것이다.
0\leq u\leq1일 때는
y\geq x이므로
\psi(x,y)=[x]=x+O(1)에서 자명하게 성립한다.
1\leq u\leq 2일 때는
x^{1/2}\leq y\leq x이므로
x 이하의 자연수가
y보다 큰 소인수를 두 개 이상 가질 수 없다. 따라서
\begin{aligned} \psi(x,y) &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \sum_{n\leq x \atop p|n} 1 \\ &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \left[{x\over p}\right] \\ &=x-x\sum_{y<p\leq x} {1\over p}+O(\pi(x)) \\ &= (1-\log u)x+O\left(x\over\log x\right) \end{aligned}
으로 성립한다. (
1\leq u\leq2에서,
\rho(u)=1-\log u이다.)
이렇게 초기조건이 증명되었다.
이제
U\in\Bbb Z,\ U\geq2에 대해 증명하고자 하는 것이 성립한다고 가정하고, 이것이
[U,U+1]에서도 성립함을 보이자.
P(n)을
n의 최대소인수로 정의하면, 다음이 성립한다.
\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} |\{n\leq x \mid P(n)=p\}|
n의 최대소인수가
p라는 것은
n/p의 최대소인수가
p 이하라는 것이므로
|\{n\leq x \mid P(n)=p\}|=\psi(x/p,p)이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} \psi(x/p,p)
그러므로
y\leq z일 때 다음이 성립한다.
\psi(x,y)=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p)
U\leq u\leq U+1에 대해
y=x^{1/u},\ z=x^{1/U}로 두고,
\displaystyle u_p={\log x\over \log p}-1로 정의하면
\displaystyle p=({x\over p})^{1/u_p}가 되며
p\geq y일 때
u_p\leq u-1\leq U이다. 따라서 귀납가설에 의해 다음이 성립한다.
\begin{aligned} \psi(x,y) &=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p) \\ &=\left(\rho(U)x + O\left({x\over\log x}\right)\right) - \left(x\sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} + O\left(x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}}\right)\right) \end{aligned}
이제
\displaystyle s(w)=\sum_{p\leq w} {1\over p}=\log\log w+c+r(w)로 정의하면
(2), 다음을 얻을 수 있다.
\begin{aligned} \sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} &=\sum_{y<p\leq z} \rho(u_p){1\over p} \\ &=\int_y^z \rho(u_w) ds(w) \\ &=\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w + \int_y^z \rho(u_w) dr(w) \end{aligned}
두 적분을 따로 계산하자.
t={\log x\over\log w}로 두면
d\log\log w=dw/(w\log w)=-dt/t이므로 첫 번째 적분은 다음과 같다.
\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w = \int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}
두 번째 적분에 대해서는, 부분적분을 한 다음
r(w)\ll{1\over\log w}임을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
\begin{aligned} \int_y^z \rho(u_w) dr(w) &=\rho(u_w)r(w)\bigg|_y^z - \int_y^z r(w) d\rho(u_w) \\ &\ll {1\over\log x}\left(1+\int_y^z 1 |d\rho(u_w)|\right) \\ &\ll {1\over\log x} \end{aligned}
또
\log\log z=\log\log y+O(1)에서 다음이 성립한다.
x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}} \ll {x\over\log x} \sum_{y<p\leq z} {1\over p} \ll {x\over\log x}
이상을 종합하면
U\leq u\leq U+1에서 다음을 얻는다.
\psi(x,y)=x\left(\rho(U)-\int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}\right) + O\left({x\over\log x}\right)=x\rho(u)+O\left({x\over\log x}\right)
따라서 귀납조건을 보였고, 본 명제가 증명되었다.
