특정 수 이하의 소인수만을 가지는 자연수를 말한다.
증명하고자 하는 것은 임의의
U\\geq0에 대해
0\\leq u\\leq U,\\ x\\geq2에서
\\psi(x,y)=x\\rho(u)+O\\left({x \\over \\log y}\\right)가 균등하게(uniformly) 성립한다는 것이다. 이를 위해
U에 대한 귀납법을 사용할 것이다.
0\\leq u\\leq1일 때는
y\\geq x이므로
\\psi(x,y)=[x]=x+O(1)에서 자명하게 성립한다.
1\\leq u\\leq 2일 때는
x^{1/2}\\leq y\\leq x이므로
x 이하의 자연수가
y보다 큰 소인수를 두 개 이상 가질 수 없다. 따라서
\\begin{aligned} \\psi(x,y) &=[x]-\\sum_{y<p\\leq x} \\sum_{n\\leq x \\atop p|n} 1 \\\\ &=[x]-\\sum_{y<p\\leq x} \\left[{x\\over p}\\right] \\\\ &=x-x\\sum_{y<p\\leq x} {1\\over p}+O(\\pi(x)) \\\\ &= (1-\\log u)x+O\\left(x\\over\\log x\\right) \\end{aligned}
으로 성립한다. (
1\\leq u\\leq2에서,
\\rho(u)=1-\\log u이다.)
이렇게 초기조건이 증명되었다.
이제
U\\in\\Bbb Z,\\ U\\geq2에 대해 증명하고자 하는 것이 성립한다고 가정하고, 이것이
[U,U+1]에서도 성립함을 보이자.
P(n)을
n의 최대소인수로 정의하면, 다음이 성립한다.
\\psi(x,y)=1+\\sum_{p\\leq y} |\\{n\\leq x \\mid P(n)=p\\}|
n의 최대소인수가
p라는 것은
n/p의 최대소인수가
p 이하라는 것이므로
|\\{n\\leq x \\mid P(n)=p\\}|=\\psi(x/p,p)이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
\\psi(x,y)=1+\\sum_{p\\leq y} \\psi(x/p,p)
그러므로
y\\leq z일 때 다음이 성립한다.
\\psi(x,y)=\\psi(x,z)-\\sum_{y<p\\leq z} \\psi(x/p,p)
U\\leq u\\leq U+1에 대해
y=x^{1/u},\\ z=x^{1/U}로 두고,
\\displaystyle u_p={\\log x\\over \\log p}-1로 정의하면
\\displaystyle p=({x\\over p})^{1/u_p}가 되며
p\\geq y일 때
u_p\\leq u-1\\leq U이다. 따라서 귀납가설에 의해 다음이 성립한다.
\\begin{aligned} \\psi(x,y) &=\\psi(x,z)-\\sum_{y<p\\leq z} \\psi(x/p,p) \\\\ &=\\left(\\rho(U)x + O\\left({x\\over\\log x}\\right)\\right) - \\left(x\\sum_{y<p\\leq z} {\\rho(u_p)\\over p} + O\\left(x\\sum_{y<p\\leq z} {1\\over p\\log{x\\over p}}\\right)\\right) \\end{aligned}
이제
\\displaystyle s(w)=\\sum_{p\\leq w} {1\\over p}=\\log\\log w+c+r(w)로 정의하면
(2), 다음을 얻을 수 있다.
\\begin{aligned} \\sum_{y<p\\leq z} {\\rho(u_p)\\over p} &=\\sum_{y<p\\leq z} \\rho(u_p){1\\over p} \\\\ &=\\int_y^z \\rho(u_w) ds(w) \\\\ &=\\int_y^z \\rho(u_w) d\\log\\log w + \\int_y^z \\rho(u_w) dr(w) \\end{aligned}
두 적분을 따로 계산하자.
t={\\log x\\over\\log w}로 두면
d\\log\\log w=dw/(w\\log w)=-dt/t이므로 첫 번째 적분은 다음과 같다.
\\int_y^z \\rho(u_w) d\\log\\log w = \\int_U^u \\rho(t-1) {dt\\over t}
두 번째 적분에 대해서는, 부분적분을 한 다음
r(w)\\ll{1\\over\\log w}임을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
\\begin{aligned} \\int_y^z \\rho(u_w) dr(w) &=\\rho(u_w)r(w)\\bigg|_y^z - \\int_y^z r(w) d\\rho(u_w) \\\\ &\\ll {1\\over\\log x}\\left(1+\\int_y^z 1 |d\\rho(u_w)|\\right) \\\\ &\\ll {1\\over\\log x} \\end{aligned}
또
\\log\\log z=\\log\\log y+O(1)에서 다음이 성립한다.
x\\sum_{y<p\\leq z} {1\\over p\\log{x\\over p}} \\ll {x\\over\\log x} \\sum_{y<p\\leq z} {1\\over p} \\ll {x\\over\\log x}
이상을 종합하면
U\\leq u\\leq U+1에서 다음을 얻는다.
\\psi(x,y)=x\\left(\\rho(U)-\\int_U^u \\rho(t-1) {dt\\over t}\\right) + O\\left({x\\over\\log x}\\right)=x\\rho(u)+O\\left({x\\over\\log x}\\right)
따라서 귀납조건을 보였고, 본 명제가 증명되었다.
