Dickman function, Dickman–de Bruijn function
딕맨 함수
\\rho는 상한이 주어졌을 때 그에 존재하는 부드러운 정수의 개수를 세기 위해 도입된 함수이다. 딕맨(Karl Dickman)의 논문
(1)에서 최초로 정의되었으며, 이후 드 부르진(Nicolaas Govert de Bruijn)에 의해 연구되었다.
(2)(3)딕맨 함수 \\rho(u)는 지연미분방정식 u\\rho'(u)+\\rho(u-1)=0과 초기조건\\rho(u)=0 \\text{ at } [0,1]을 만족하는 연속함수로 정의된다. \\Bbb R^+_0를 정의역으로 가진다.
정의의 지연미분방정식을 이용 및 변형하여 다양한 성질을 찾아낼 수 있다.
우선 이항 및 양변을
u로 나누면
\\rho'(u)=-\\frac{\\rho(u-1)}{u}가 되는데, 이를 적분하면
\\rho(v)=\\rho(u)-\\int_u^v {\\rho(t-1) \\over t} dt를 얻는다. 그리고
(u\\rho(u))'=\\rho(u)-\\rho(u-1)에서
u\\rho(u)=\\int_{u-1}^u \\rho(v) dv\\ (u\\geq1)를 얻는다.
또한 다음 성질들이 성립한다.
- \\Bbb R^+_0에서 연속이다.
- 도함수가 존재하므로 자명하다.
- \\Bbb R^+_0에서 양의 값을 가진다. 즉, 근이 존재하지 않는다.
- 근이 존재한다고 가정하면 근의 집합의 하한 u_0를 잡을 수 있다.
- \\rho가 연속이므로 \\rho(u_0)=0이 성립하게 되는데,
- u_0\\rho(u_0)=\\int_{u_0-1}^{u_0} \\rho(v) dv
- 에서 좌변은 0이지만 [0,u_0)에서 \\rho>0이므로 우변은 0보다 크다. 따라서 모순이 발생하고, \\rho의 근은 존재하지 않는다. \\rho(0)=1>0이므로 \\rho는 \\Bbb R^+_0에서 양의 값을 가진다.
- (1,+\\infty)에서 감소한다.
- u\\rho'(u)=-\\rho(u-1)에서 \\rho'(u)<0\\ \\forall u>1을 얻는다. 따라서 \\rho는 (1,+\\infty)에서 감소한다.
- 최댓값은 [0,1]에서 1이며, 최솟값은 존재하지 않는다.
- 감소함수이므로 자명하다.
귀납법을 사용하면 어렵지 않게 다음을 증명할 수 있다.
{1\\over2\\Gamma(2u+1)} \\leq \\rho(u) \\leq {1\\over\\Gamma(u+1)}
우선 상한을 보이자.
임의의 U\\in\\Bbb N에 대해 0\\leq u\\leq U일 때 상한이 성립함을 U에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
\\Gamma(1)=\\Gamma(2)=1,\\ \\Gamma''(s)=\\int_0^\\infty e^{-x}x^{-s-1}(\\log x)^2 dx >0\\ (0<s<\\infty)
이므로 1\\leq s\\leq 2에서 \\Gamma(s)\\leq1이다. 따라서 초기조건이 성립한다.
\\rho가 감소함수이므로
u\\rho(u)=\\int_{u-1}^u \\rho(v)dv \\leq \\rho(u-1)
이다. 따라서 0\\leq u\\leq U일 때 상한이 성립한다고 가정했을 때, U\\leq u\\leq U+1이면
\\rho(u) \\leq {\\rho(u-1)\\over u} \\leq {1\\over u\\Gamma(u)} = {1\\over\\Gamma(u+1)}
로 상한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 상한이 증명되었다.
이제 하한을 보이자.
u에 v/2를 대입하면, 보이고자 하는 것은
\\rho({v\\over2}) \\geq {1\\over2\\Gamma(v+1)}
가 된다. 이제 상한에서와 같이 임의의 V\\in\\Bbb N에 대해 0\\leq v\\leq V일 때 하한이 성립함을 V에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
위에서 보였듯이
\\Gamma(1)=\\Gamma(2)=1,\\ \\Gamma''(s)>0\\ (0<s<\\infty)
이므로 0<s\\leq1,\\ s\\geq2일 때 \\Gamma(s)\\geq1이다.
또한 1\\leq s\\leq2이면
\\begin{aligned} \\Gamma(s)&=\\int_0^\\infty e^{-x}x^{-s-1} dx \\\\ &\\geq \\int_0^1 e^{-x}x dx + \\int_1^\\infty e^{-x} dx \\\\ &=1-{1\\over e} > {1\\over2} \\end{aligned}
이므로 임의의 s>0에 대해 \\Gamma(s)\\geq{1\\over2}가 성립한다.
따라서 0\\leq v\\leq2에서 {1\\over2\\Gamma(v+1)}\\leq\\rho({v\\over2})=1이고, 초기조건이 성립한다.
\\rho가 감소함수이므로
u\\rho(u)=\\int_{u-1}^u \\rho(v)dv \\geq \\int_{u-{1\\over2}}^u \\rho(v)dv \\geq {\\rho(u-{1\\over2})\\over2}
이다. 따라서 0\\leq v\\leq V에서 하한이 성립한다고 가정했을 때, V\\leq v\\leq V+1이면
\\rho({v\\over2}) \\geq {\\rho({v-1\\over2})\\over v} \\geq {1\\over2v\\Gamma(v)} = {1\\over2\\Gamma(v+1)}
로 하한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 하한이 증명되었다.
라플라스 변환과 역라플라스 변환을 사용하면 다음을 증명할 수 있다.
s\\in\\Bbb R 또는 s\\in\\Bbb C일 때,
\\int_0^\\infty \\rho(u)e^{-us}du = \\exp\\left(\\gamma+\\int_0^s {e^{-z}-1 \\over z} dz\\right)
u>0,\\ \\sigma_0\\in\\Bbb R일 때,
\\rho(u) = {e^\\gamma \\over 2\\pi i} \\int_{\\sigma_0-i\\infty}^{\\sigma_0+i\\infty} \\exp\\left(\\int_0^s {e^{-z}-1 \\over z} dz\\right) e^{us} ds
3. 부드러운 정수와의 관계 ✎ ⊖
\\psi(x,y)를 x 이하의 y-부드러운 정수, 즉 y 이하의 소인수만을 가지는 x 이하의 자연수의 개수라고 할 때, 다음이 성립한다.
\\psi(x,y)=x\\rho(u)+O({x\\over\\log x})
이 때, u=\\log x/\\log y이다. 따라서 \\phi(x,x^{1\\over u}) \\sim \\rho(u)x도 성립한다.
- Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9
