방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant) 또는 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)은 정사각행렬인
방데르몽드 행렬의 행렬식이다.
목차
1. 계산
1.1. 증명
2. 외부
3. 영상
n\times n 방데르몽드 행렬
V_n=\begin {bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end {bmatrix}
에 대해
\det(V_n)=\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)
이다.
V_n의 행렬식
\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{vmatrix}
의 2,3,\dots,n행에서 1행을 빼는 기본행연산을 수행하면,
\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 -\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1}-\alpha_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n^2-\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}-\alpha_1^{n-1}\end{vmatrix}
을 얻는다. j\in\{1,2,\dots,n-1\}에 대해, (j+1)열에서 j항의 \alpha_1배를 빼는 기본열연산을 내림차순으로 수행하면,
\begin{aligned}\det(V_n)&=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \cdots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1) \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \cdots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\end{vmatrix}\\ &=\prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-2} \\ 1 & \alpha_3 & \cdots &\alpha_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{aligned}
위의 계산과정을 반복하면,
\det(V_n)= \prod_{k=1}^{n-1}\left(\prod_{i=k+1}^n (\alpha_i-\alpha_k)\right) =\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)
을 얻는다.
