Vandermonde matrix
선형대수학의 특수 행렬 중 하나로, 1열의 성분이 모두 1이고, 각 행의 성분이 등비수열을 구성하는 행렬이다. 프랑스의 수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드의 이름을 따서 명명됐다.
체 F와 \\alpha_1,\\alpha_2, \\cdots, \\alpha_m \\in F에 대해, m \\times n 방데르몽드 행렬 V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
\\begin{bmatrix} 1 & \\alpha_1 & \\alpha_1^2 & \\cdots & \\alpha_1^{n-1} \\\\ 1 & \\alpha_2 & \\alpha_2^2 & \\cdots & \\alpha_2^{n-1} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots\\\\ 1 & \\alpha_m & \\alpha_m^2 & \\cdots & \\alpha_m^{n-1} \\end{bmatrix}
V의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하기도 한다. 중요한 건 한 줄(행이든 열이든)이 등비수열을 이룬다는 점이다.
- 방데르몽드 행렬 V가 n차 정사각행렬이면,
- \\det V=\\prod_{1\\le j < i \\le n} (\\alpha_i - \\alpha_j)
이다. 이때,
\\det V를
방데르몽드 행렬식이라 하며,
V가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른
i,j\\in \\{1,2,\\cdots,n\\}에 대해
\\alpha_i \\ne \\alpha_j인 것이다.
- V가 가역일 때, V의 역행렬을 V^{-1}=[\\beta_{ij}]라 하면, 다음 식이 성립한다.
- \\beta_{ij}=(-1)^{i-1}\\frac {S_{n-i}(\\alpha_1, \\cdots,\\alpha_{j-1},\\alpha_{j+1},\\cdots,\\alpha_n)}{\\prod_{k\\ne j}(\\alpha_k-\\alpha_j)}
이때,
S_{n-i}는 기본대칭함수이다.
증명. V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.
\\sum_{k=1}^n \\alpha_i^{k-1} \\beta_{kj}=\\delta_{ij}이때,
\\delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 다항식
P_j(x)를
P_j(x)=\\sum_{k=1}^n \\beta_{kj}x^{k-1}로 정의하면
\\displaystyle P_j(\\alpha_i)=\\sum_{k=1}\\beta_{kj}\\alpha_i^{k-1}=\\delta_{ij}이다. 라그랑주 보간법에 의해,
\\begin{aligned}P_j(x)&=\\sum_{i=1}^n \\delta_{ij}L_i(x)\\\\&=L_j(x)\\\\&=\\prod_{\\substack{1\\le k \\le n\\\\ k\\ne j}}\\frac{x-\\alpha_k}{\\alpha_j-\\alpha_k}\\end{aligned}이다. 이때
L_j(x)는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
\\begin{aligned}\\beta_{kj}&=\\frac{\\displaystyle\\sum_{1\\le i_1 < \\cdots < i_{n-k} \\le n}\\prod_{j=1}^{n-k}(-\\alpha_{i_j})}{\\displaystyle\\prod_{\\substack{1\\le m \\le n \\\\ k\\ne j}}(\\alpha_j-\\alpha_m)}\\\\ &=\\frac{\\displaystyle (-1)^{n-k}\\sum_{1\\le i_1 < \\cdots < i_{n-k} \\le n}\\prod_{j=1}^{n-k}\\alpha_{i_j}}{\\displaystyle (-1)^{n-1}\\prod_{\\substack{1\\le m \\le n \\\\ m\\ne j}}(\\alpha_m-\\alpha_j)} \\\\&= \\frac{\\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\\alpha_1,\\cdots,\\alpha_{j-1},\\alpha_{j+1},\\cdots,\\alpha_n)}{\\displaystyle \\prod_{\\substack{1\\le m \\le n \\\\ k\\ne j}}(\\alpha_m-\\alpha_j)} \\end{aligned}임을 안다.
k를
i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
